如圖，是△的重心，、分別是邊、上的動點，且、、三點共線．

（1）設，將用、、表示；

（2）設，，證明：是定值；

（3）記△與△的面積分別為、．求的取值范圍．

（提示：

【解析】第一問中利用（1）

第二問中，由（1），得；①

另一方面，∵是△的重心，

∴

而、不共線，∴由①、②，得

第三問中，

由點、的定義知，，

且時，；時，．此時，均有．

  時，．此時，均有．

以下證明：，結合作差法得到。

解：（1）

．

（2）一方面，由（1），得；①

另一方面，∵是△的重心，

∴．  ②

而、不共線，∴由①、②，得 

解之，得，∴（定值）．

（3）．

由點、的定義知，，

且時，；時，．此時，均有．

  時，．此時，均有．

以下證明：．（法一）由（2）知，

∵，∴．

∵，∴．

∴的取值范圍

 

【答案】

（1）． （2）（定值）．（3）的取值范圍

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

28、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，過A點作面A1BD的垂線，垂足為P．則下列命題：
①P是△A1BD的重心；
②AP也垂直于面CB1D1；
③AP的延長線必通過點C1；
④AP與面AA1D1D所成角為45°．
其中，正確的命題是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知A（-1，2），B（2，8），
AC
=
1
3
AB
，
DA
=-
2
3
AB
，求
CD
的坐標．
（2）如圖，過△OAB的重心G的直線與邊OA、OB分別交于P、Q，設O
P
=h
OA
，O
Q
=k
OB
，求證：
1
h
+
1
k
是常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，過銳角△的重心，作面，且使．

求證：△和△都是直角三角形．

 


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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年陜西省師大附中高一下學期期末考試數(shù)學試卷 題型：解答題

（Ⅰ）如圖1，是平面內的三個點，且與不重合，是平面內任意一點，若點在直線上，試證明：存在實數(shù)，使得：.
（Ⅱ）如圖2,設為的重心,過點且與、（或其延長線）分別交于點，若，，試探究：的值是否為定值，若為定值，求出這個
定值；若不是定值，請說明理由.
 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆陜西省高一下學期期末考試數(shù)學試卷 題型：解答題

（Ⅰ）如圖1，是平面內的三個點，且與不重合，是平面內任意一點，若點在直線上，試證明：存在實數(shù)，使得：.

（Ⅱ）如圖2,設為的重心,過點且與、（或其延長線）分別交于點，若，，試探究：的值是否為定值，若為定值，求出這個

 

定值；若不是定值，請說明理由.

 

 

 

 

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