(1)已知A(-1,2),B(2,8),
AC
=
1
3
AB
DA
=-
2
3
AB
,求
CD
的坐標.
(2)如圖,過△OAB的重心G的直線與邊OA、OB分別交于P、Q,設O
P
=h
OA
,O
Q
=k
OB
,求證:
1
h
+
1
k
是常數(shù).
分析:(1)由A、B的坐標算出
AB
=(3,6),從而算出
AC
DA
的坐標,得出
DC
=
DA
+
AC
=(-1,-2)
,可得向量
CD
的坐標.
(2)由點G為△OAB的重心得
OG
=
2
3
OM
=
1
3
OA
+
1
3
OB
.設
PG
GQ
,變形整理得到
OG
=
1
1+λ
OP
+
λ
1+λ
OQ
,結合題意整理得
h
1+λ
OA
+
1+λ
k
OB
=
1
3
OA
+
1
3
OB
.根據(jù)平面向量基本定理建立關于λ、h和k的方程組,消去λ并化簡可得
1
h
+
1
k
=3.
解答:解:(1)∵A(-1,2),B(2,8),
AB
=(3,6),可得
AC
=
1
3
AB
=(1,2),
DA
=-
2
3
AB
=(-2,-4),
DC
=
DA
+
AC
=(-1,-2)
,可得
CD
=-
DC
=(1,2).
(2)證明:∵OM是△OAB的中線,G為重心,O、G、M三點共線,
OM
=
1
2
OA
+
1
2
OB
,得
OG
=
2
3
OM
=
1
3
OA
+
1
3
OB
,
PG
GQ
,則
OG
-
OP
=λ(
OQ
-
OG
)
,
化簡得
OG
=
1
1+λ
OP
+
λ
1+λ
OQ
,
因此
1
1+λ
OP
+
λ
1+λ
OQ
=
1
3
OA
+
1
3
OB

又∵
OP
=h
OA
,
OQ
=k
OB
,
1
1+λ
(h
OA
)+
λ
1+λ
(k
OB
)=
1
3
OA
+
1
3
OB

∵向量
OA
OB
是不共線的向量,
∴由平面向量基本定理,得
h
1+λ
=
1+λ
=
1
3
,可得
1
3h
=
1
1+λ
1
3k
=
λ
1+λ
,消去λ得
1
h
+
1
k
=3(常數(shù)).
點評:本題考查了平面向量的坐標運算法則、三角形重心的性質和平面向量基本定理及其應用等知識,屬于中檔題.
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1-ab
a-b
|>1;
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1-abλ
aλ-b
|>1對滿足|a|<1,|b|<1的一切實數(shù)a、b恒成立;
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a+b
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1-abλ
aλ-b
|>1對滿足|a|<1,|b|<1的一切實數(shù)a、b恒成立;
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a+b
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