【題目】已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析
【解析】試題分析:(1)由(a+b)(a5+b5)=4+ab(a2-b2)2,可知原不等式成立;
(2)由a3+b3=2轉(zhuǎn)化為=ab,再由均值不等式可得:=ab≤()2,即可得到(a+b)3≤2,問(wèn)題得以證明.
試題解析:
(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)
=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
=2+3ab(a+b)≤2+ (a+b)
=2+,
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2022年第24屆冬奧會(huì)將在北京舉行。為了推動(dòng)我國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,京西某區(qū)興建了“騰越”冰雪運(yùn)動(dòng)基地。通過(guò)對(duì)來(lái)“騰越”參加冰雪運(yùn)動(dòng)的100員運(yùn)動(dòng)員隨機(jī)抽樣調(diào)查,他們的身份分布如下: 注:將表中頻率視為概率。
身份 | 小學(xué)生 | 初中生 | 高中生 | 大學(xué)生 | 職工 | 合計(jì) |
人數(shù) | 40 | 20 | 10 | 20 | 10 | 100 |
對(duì)10名高中生又進(jìn)行了詳細(xì)分類(lèi)如下表:
年級(jí) | 高一 | 高二 | 高三 | 合計(jì) |
人數(shù) | 4 | 4 | 2 | 10 |
(1)求來(lái)“騰越”參加冰雪運(yùn)動(dòng)的人員中高中生的概率;
(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì),春節(jié)當(dāng)天來(lái)“騰越”參加冰雪運(yùn)動(dòng)的人員中,小學(xué)生是340人,估計(jì)高中生是多少人?
(3)在上表10名高中生中,從高二,高三6名學(xué)生中隨機(jī)選出2人進(jìn)行情況調(diào)查,至少有一名高三學(xué)生的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,是的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且.
(Ⅰ)求證:平面底面;
(Ⅱ)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形是正方形,平面,,,,,分別為,,的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: ,其中, 為左、右焦點(diǎn),且離心率,直線(xiàn)與橢圓交于兩不同點(diǎn), .當(dāng)直線(xiàn)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且傾斜角為時(shí),原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.
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(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若,當(dāng)面積為時(shí),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=|2x-1|-|x+1|.
(1)將f(x)的解析式寫(xiě)成分段函數(shù)的形式,并作出其圖象;
(2)若a+b=1,對(duì)a,b∈(0,+∞),+≥3f(x)恒成立,求x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,直三棱柱中,是邊長(zhǎng)為2等邊三角形,是的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若與平面所成角為,求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的上頂點(diǎn)為,且離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,點(diǎn),直線(xiàn)與曲線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為(與不重合),過(guò)作直線(xiàn),垂足為,是否存在定點(diǎn),使為定值?若存在求出的坐標(biāo),不存在說(shuō)明理由?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線(xiàn),圓,已知直線(xiàn)與圓相切,且與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn).
(Ⅰ)求直線(xiàn)在軸上截距的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),,求直線(xiàn)的方程.
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