【題目】已知拋物線的頂點在原點,焦點在坐標(biāo)軸上,點為拋物線上一點.
(1)求的方程;
(2)若點在上,過作的兩弦與,若,求證: 直線過定點.
【答案】(1)或; (2)證明見解析.
【解析】
試題分析:(1)當(dāng)焦點在軸時,設(shè)的方程為,當(dāng)焦點在軸時,設(shè)的方程為,分別代入點,求得的值,即可得到拋物線的方程;(2)因為點在上,所以曲線
的方程為,設(shè)點,用直線與曲線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理整理得到,即可得到,判定直線過定點.
試題解析:(1)當(dāng)焦點在軸時,設(shè)的方程為,代人點得,即.當(dāng)焦點在軸時,設(shè)的方程為,代人點得,即 ,
綜上可知:的方程為或.
(2)因為點在上,所以曲線的方程為.
設(shè)點,
直線,顯然存在,聯(lián)立方程有:.,
即即.
直線即直線過定點.
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【題目】已知集合Z={(x,y)|x∈[0,2],y∈[-1,1]}.
(1)若x,y∈Z,求x+y≥0的概率;
(2)若x,y∈R,求x+y≥0的概率.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線:(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,且與相交于兩點.
(1)當(dāng)時,判斷直線與曲線的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)當(dāng)變化時,求弦的中點的普通方程,并說明它是什么曲線.
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【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè).
①若函數(shù)在處的切線過點,求的值;
②當(dāng)時,若函數(shù)在上沒有零點,求的取值范圍.
(2)設(shè)函數(shù),且,求證: 當(dāng)時,.
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【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè).
①若函數(shù)在處的切線過點,求的值;
②當(dāng)時,若函數(shù)在上沒有零點,求的取值范圍.
(2)設(shè)函數(shù),且,求證: 當(dāng)時,.
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【題目】已知拋物線:的焦點為,平行于軸的兩條直線,分別交于,兩點,交的準(zhǔn)線于,兩點.
(1)若在線段上,是的中點,證明:;
(2)若△的面積是△的面積的兩倍,求中點的軌跡方程.
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【題目】設(shè),分別為橢圓:()的左、右兩個焦點.
(1)若橢圓上的點到,兩點的距離之和等于,求橢圓的方程和焦點坐標(biāo);
(2)設(shè)點是(1)中所得橢圓上的動點,,求的最大值.
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【題目】已知圓經(jīng)過點,圓的圓心在圓的內(nèi)部,且直線被圓所截得的弦長為.點為圓上異于的任意一點,直線與軸交于點,直線與軸交于點.
(1)求圓的方程;
(2)求證: 為定值.
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【題目】已知動圓與圓相切,且與圓相內(nèi)切,記圓心的軌跡為曲線;設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點,為坐標(biāo)原點,過點作的平行線交曲線于兩個不同的點.
(1)求曲線的方程;
(2)試探究和的比值能否為一個常數(shù)?若能,求出這個常數(shù),若不能,請說明理由;
(3)記的面積為,的面積為,令,求的最大值.
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