【題目】已知動圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標原點，過點作的平行線交曲線于兩個不同的點．

（1）求曲線的方程；

（2）試探究和的比值能否為一個常數(shù)？若能，求出這個常數(shù)，若不能，請說明理由；

（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)兩圓相切得圓心距與半徑之間關(guān)系：，消去半徑得，符合橢圓定義，由定義可得軌跡方程（2）探究問題，實質(zhì)是計算問題，即利用坐標求和的比值：根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用兩點間距離公式及韋達定理、弦長公式可得和的表達式，兩式相比即得比值（3）因為的面積的面積，所以，利用原點到直線距離得三角形的高，而底為弦長MN（2中已求），可得面積表達式，為一個分式函數(shù)，結(jié)合變量分離法（整體代換）、基本不等式求最值

試題解析：解：（1）設(shè)圓心的坐標為，半徑為，

由于動圓一圓相切，且與圓相內(nèi)切，所以動圓與圓只能內(nèi)切

∴

∴圓心的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，

∴

故圓心的軌跡．

（2）設(shè)，直線，則直線，

由可得：，∴，

∴

由可得：，

∴，

∴

．

∴

∴和的比值為一個常數(shù)，這個常數(shù)為．

（3）∵，∴的面積的面積，∴，

∵到直線的距離，

∴．1

令，則，，

∵（當且僅當，即，亦即時取等號）

∴當時，取最大值．1

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的頂點在原點,焦點在坐標軸上，點為拋物線上一點.

（1）求的方程；

（2）若點在上，過作的兩弦與，若，求證: 直線過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）若，證明：對任意，總有.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線： ，焦點， 為坐標原點，直線（不垂直軸）過點且與拋物線交于兩點，直線與的斜率之積為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若為線段的中點，射線交拋物線于點，求證： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知命題：直線與圓有兩個交點；命題：.

（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若為真命題，為假命題，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)命題對任意實數(shù)，不等式恒成立；命題方程表示焦點在軸上的雙曲線．

（1）若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若命題：“”為真命題，且“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某同學用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如下表：

ωx＋φ

0

π

2π

x

Asin（ωx＋φ）

0

5

－5

0

（1）請將上表數(shù)據(jù)補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；

（2）將圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到的圖象，求的圖象離原點O最近的對稱中心.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某班50名學生在一次數(shù)學測試中，成績?nèi)拷橛?0與100之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組[50，60），第二組[60，70），…，第五組[90，100].如圖所示是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）若成績大于或等于60且小于80，認為合格，求該班在這次數(shù)學測試中成績合格的人數(shù)；

（Ⅱ）從測試成績在[50，60）∪[90，100]內(nèi)的所有學生中隨機抽取兩名同學，設(shè)其測試成績分別為m、n，求事件“|m﹣n|＞10”概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，和所在平面互相垂直，且分別為的中點．

（1）求證:；

（2）求二面角的正弦值．

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