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【題目】如圖, 平面平面, 是等邊三角形, 的中點.

(1)證明: ;

(2)若直線與平面所成角的余弦值為,求二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】試題分析:(1)由是等邊三角形, 的中點,可得,利用直線與平面垂直的判定定理得出直線與平面垂直,再利用直線與平面垂直的性質定理證明線線垂直;(2)以點為坐標原點, 所在直線為軸, 所在直線為軸,過且與直線的直線為軸,建立空間直角坐標系,根據直線與平面所成的角的余弦值為.可得,不妨設,利用向量垂直數量積為零,分別求出平面與平面的法向量,利用空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦值,進而可得正弦值.

試題解析:(1)因為是等邊三角形, 的中點,所以,因為平面平面,所以,因為,所以平面,因為平面,所以.

(2)解法1: 以點為坐標原點, 所在直線為軸, 所在直線為軸,過且與直線的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為平面,所以為直線與平面所成的角.

由題意得,,

,從而.不妨設,又,則.

.

于是,

設平面與平面的法向量分別為,

,得

,得.

.

.故二面角的正弦值為1.

(2)解法2: 平面為直線與平面所成的角.

由題意得,

,從而.

不妨設,又,則, .

由于平面, 平面,則.

的中點,連接,則.

中, ,

中, ,

中, ,

的中點,連接,則.

所以為二面角的平面角.

中, ,

中, ,

中, ,

.

故二面角的正弦值為1.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定與性質,以及利用空間向量求二面角,屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當的空間直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關系轉化為向量關系;(5)根據定理結論求出相應的角和距離.

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