設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x恒滿足f(x+2)=-f(x),當x∈[0,2]時,f(x)=2x-x2.
(1)求證:f(x)是周期函數(shù).
(2)當x∈[2,4]時,求f(x)的解析式.
(3)計算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2011)
(1)∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是周期為4的周期函數(shù).
(2)當x∈[-2,0]時,-x∈[0,2],由已知
f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,
又f(x)為奇函數(shù),∴-f(x)=-2x-x2.
∴f(x)=x2+2x.當x∈[2,4]時,x-4∈[-2,0].
∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4),
又f(x)是周期為4的周期函數(shù),
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,
∴x∈[2,4]時,f(x)=x2-6x+8.
(3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.
又f(x)是周期為4的周期函數(shù).
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
=…=f(2004)+f(2005)+f(2006)+f(2007)
=f(2010)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0.
∴f(0)+f(1)+…+f(2011)=0+…+0=0.
解析
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且
(1)確定函數(shù)的解析式;
(2)判斷并證明在的單調(diào)性;
(3)解不等式
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是,最小值是.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=-xm,且f(4)=-.
(1)求m的值;
(2)判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并給予證明
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(3)(本小題滿分7分)選修4—5:不等式選講
已知函數(shù),不等式在上恒成立.
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)記的最大值為,若正實數(shù)滿足,求的最大值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com