Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=4，an+1= ，n∈N* ， Sn為{an}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求證：n∈N*時(shí)，an＞an+1；
（Ⅱ）求證：n∈N*時(shí)，2≤Sn﹣2n＜ ．

Answer 1

【答案】證明：（I）n≥2時(shí)，作差：an+1﹣an= ﹣ = ，

∴an+1﹣an與an﹣an﹣1同號(hào)，

由a1=4，可得a2= = ，可得a2﹣a1＜0，

∴n∈N*時(shí)，an＞an+1．

（II）∵2 =6+an，∴ =an﹣2，即2（an+1﹣2）（an+1+2）=an﹣2，①

∴an+1﹣2與an﹣2同號(hào)，

又∵a1﹣2=2＞0，∴an＞2．

∴Sn=a1+a2+…+an≥4+2（n﹣1）=2n+2．

∴Sn﹣2n≥2．

由①可得： = ，

因此an﹣2≤（a1﹣2） ，即an≤2+2× ．

∴Sn=a1+a2+…+an≤2n+2× ＜2n+ ．

綜上可得：n∈N*時(shí)，2≤Sn﹣2n＜

【解析】（I）n≥2時(shí)，作差：an+1﹣an= ，可得an+1﹣an與an﹣an﹣1同號(hào)，由a2﹣a1＜0，即可證明：n∈N*時(shí)，an＞an+1．（II）2 =6+an，∴可得=an﹣2，即2（an+1﹣2）（an+1+2）=an﹣2，因此an+1﹣2與an﹣2同號(hào)，可得Sn=a1+a2+…+an≥4+2（n﹣1）．即可證明左邊．由： = ，可得：an≤2+2× ．利用等比數(shù)列的求和公式化簡(jiǎn)即可證明右邊．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．