【題目】設(shè)函數(shù), ().
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式有解?若存在,請求出的最小值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)當(dāng)時(shí), 的單調(diào)增區(qū)間為; 時(shí), 的單調(diào)增區(qū)間為;(2)0.
【解析】試題分析:(Ⅰ)先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即為使導(dǎo)函數(shù)大于零的區(qū)間,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分段討論 的不同取值范圍時(shí)的單調(diào)增區(qū)間即可.
(Ⅱ)單調(diào)遞增,存在唯一,使得,即,當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,所以 求得的范圍,得到的范圍,得到最小整數(shù)值.
試題解析:(1)()
①當(dāng)時(shí),由,解得;
②當(dāng)時(shí),由,解得;
③當(dāng)時(shí),由,解得;
綜上所述,
當(dāng)時(shí), 的單調(diào)增區(qū)間為;
時(shí), 的單調(diào)增區(qū)間為.
(2)當(dāng)時(shí), , , ,
所以單調(diào)遞增, , ,
所以存在唯一,使得,即,
當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,
所以
,
記函數(shù),則在上單調(diào)遞增,
所以,即,
由,且為整數(shù),得,
所以存在整數(shù)滿足題意,且的最小值為0.
點(diǎn)晴:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)、不等式等知識. 解答此類問題,應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域,否則,寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯(cuò). 解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化:(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.(2)將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題處理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(14分)一根直木棍長為6m,現(xiàn)將其鋸為2段.
(1)若兩段木棍的長度均為正整數(shù),求恰有一段長度為2m的概率;
(2)求鋸成的兩段木棍的長度均大于2m的概率.
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【題目】已知梯形ABCD是直角梯形,按照斜二測畫法畫出它的直觀圖A′B′C′D′(如圖所示),其中A′D′=2,B′C′=4,A′B′=1,則直角梯形DC邊的長度是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖, 是平行四邊行, 平面, // , , , .
(1)證明: //平面;
(2)求證:平面平面;
(3)求直線與平面所成角的正弦值;
(4)求二面角 的平面角的正切值.
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【題目】某學(xué)校的特長班有50名學(xué)生,其中有體育生20名,藝術(shù)生30名,在學(xué)校組織的一次體檢中,該班所有學(xué)生進(jìn)行了心率測試,心率全部介于50次/分到75次/分之間,現(xiàn)將數(shù)據(jù)分成五組,第一組,第二組,…,第五組,按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示,已知圖中從左到右的前三組的頻率之比為.
(Ⅰ)求的值,并求這50名同學(xué)心率的平均值;
(Ⅱ)因?yàn)閷W(xué)習(xí)專業(yè)的原因,體育生常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉,藝術(shù)生則很少進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉,若從第一組和第二組的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名,該學(xué)生是體育生的概率為0.8,請將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為心率小于60次/分與常年進(jìn)行系統(tǒng)的身體鍛煉有關(guān)?說明你的理由.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式: ,其中
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合計(jì) | |
體育生 | 20 | ||
藝術(shù)生 | 30 | ||
合計(jì) | 50 |
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【題目】若圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為2,則的取值范圍是( )
A. (-12,8) B. (-8,12) C. (-13,17) D. (-17,13)
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【題目】已知∠A1,∠A2,…,∠An為凸多邊形的內(nèi)角,且lg sin A1+lg sin A2+…+lg sin An=0,則這個(gè)多邊形是( )
A. 正六邊形 B. 梯形
C. 矩形 D. 含銳角的菱形
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+cosx). (Ⅰ)求f( )的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
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