Question

已知復(fù)數(shù)z₁=sinx+λi，z₂=m+（m-cosx）i（λ，m，x∈R），且z₁=z₂．
（I）若λ=0，且0＜x＜π，求x的值；
（II）設(shè)f（x）=λcosx，求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件求得tanx=，再由 0＜x＜π 可得 x的值．
（II）由z₁=z₂ 可得 λ=sinx-cosx，再利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為sin（2x-）-，由此求得函數(shù) f（x）的最小正周期，由 2kπ+≤2x-≤2kπ+，
k∈z，求得x的范圍，即可得到f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
解答：解：（I）若λ=0，且0＜x＜π，由z₁=z₂ 可得 m=sinx，m-cosx=0，
∴sinx-cosx=0，tanx=．再由 0＜x＜π 可得 x=．
（II）由z₁=z₂ 可得 m=sinx，m-cosx=λ，∴λ=sinx-cosx，
∴f（x）=λcosx=（sinx-cosx ）cosx=-=sin（2x-）-，
故函數(shù) f（x）的最小正周期等于 =π．
由 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
點評：本題主要考查兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，化簡函數(shù)的解析式為sin（2x-）-，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．