Question

15．已知函數f（x）=ax²+x-2，g（x）=x³+x²+3x-2
（1）若函數f（x）在（0，+∞）有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍；
（2）當x∈[1，3]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分a=0和a≠0兩種情況討論，對于后者利用跟的判別式求解即可；
（2）將不等式f（x）＜g（x）轉化為a＜x+1+$\frac{2}{x}$，利用基本不等式解決即可

解答 解：（1）∵f（x）=ax²+x-2，
∴當a=0時，由f（x）=x-2=0得，函數f（x）有零點2，
當a≠0時，函數f（x）有零點等價于△=1-8a≥0，
即a$≤\frac{1}{8}$且a≠0，
綜上可得，若函數f（x）有零點，求實數a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{8}$]；
（2）∵f（x）=ax²+x-2（a∈R），g（x）=x³+x²+3x-2，
∴不等式f（x）＜g（x）可化為，
ax²＜x³+x²+2x…①，
又∵x∈[1，3]，
∴①可化為a$＜x+1+\frac{2}{x}$，
根據基本不等式可知，x+1+$\frac{2}{x}$$≥2\sqrt{2}$+1，當且僅當x=$\sqrt{2}$時等號成立，
∴實數a的取值范圍是（-∞，2$\sqrt{2}$+1）．

點評 本題考查零點存在性定理，基本不等式的靈活應用，屬于中檔題