【題目】已知x=1是 的一個極值點.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù) ,若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:因為x=1是 的一個極值點,
所以f′(1)=0,解得b=3,經(jīng)檢驗,適合題意,所以b=3
定義域為(0,+∞),f′(x)=2﹣ + <0,解得x∈(﹣ ,1)
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為:(0,1]
(2)解: ,
因為函數(shù)在[1,2]上單調(diào)遞增,所以g'(x)≥0恒成立,即 恒成立
所以a≥﹣2x2﹣x,即a≥(﹣2x2﹣x)max
而在[1,2]上(﹣2x2﹣x)max=﹣3
所以a≥﹣3
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的極值點,求解b,然后驗證求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值,推出結(jié)果即可.
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥BD,底面ABCD是邊長為a的菱形,∠BAD=120°,PA=b,AC與BD交于點O,M為OC的中點.
(1)求證:平面PAC⊥平面ABCD;
(2)若∠PAC=90°,二面角O﹣PM﹣D的正切值為 ,求a:b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況,隨機(jī)訪問50名職工,根據(jù)這50名職工對該部門的評分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率;
(3)從評分在的受訪職工中,隨機(jī)抽取2人,求此2人評分都在的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(題文)某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會實踐,對歲的人群隨機(jī)抽取人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查,若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”,否則稱為“非低碳族”,得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖:
(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求、、的值;
(2)從歲年齡段的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取人參加戶外低碳體驗活動,其中選取人作為領(lǐng)隊,記選取的名領(lǐng)隊中年齡在歲的人數(shù)為,求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】要得到函數(shù)f(x)=2sinxcosx,x∈R的圖象,只需將函數(shù)g(x)=2cos2x﹣1,x∈R的圖象( )
A.向左平移 個單位
B.向右平移 個單位
C.向左平移 個單位
D.向右平移 個單位
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個直角三角形的三個頂點分別在底面棱長為2的正三棱柱的側(cè)棱上,則該直角三角形斜邊的最小值為__________.
【答案】
【解析】如圖,不妨設(shè)在處, ,
則有 由
該直角三角形斜邊
故答案為.
【題型】填空題
【結(jié)束】
16
【題目】已知函數(shù)f(x)=,g(x)=,若函數(shù)y=f(g(x))+a有三個不同的零點x1,x2,x3(其中x1<x2<x3),則2g(x1)+g(x2)+g(x3)的取值范圍為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作,該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一單獎勵1元;乙方案:底薪140元,每日前55單沒有獎勵,超過55單的部分每單獎勵12元.
(Ⅰ)請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y(單位:元)與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄,發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件:在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖,其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在(,](n=1,2,3,4,5)時,日平均派送量為50+2n單.若將頻率視為概率,回答下列問題:
①根據(jù)以上數(shù)據(jù),設(shè)每名派送員的日薪為X(單位:元),試分別求出甲、乙兩種方案的日薪X的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差;
②結(jié)合①中的數(shù)據(jù),根據(jù)統(tǒng)計學(xué)的思想,幫助小明分析,他選擇哪種薪酬方案比較合適,并說明你的理由。
(參考數(shù)據(jù):0.62=0.36,1.42=1.9 6,2.6 2=6.76,3.42=1 1.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1971.36)
【答案】(Ⅰ)甲方案的函數(shù)關(guān)系式為: ,乙方案的函數(shù)關(guān)系式為:;(Ⅱ)①見解析,②見解析.
【解析】
(Ⅰ)由題意可得甲方案中派送員日薪(單位:元)與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為: , 乙方案中派送員日薪(單位:元)與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為:.
(Ⅱ)①由題意求得X的分布列,據(jù)此計算可得,,.
②答案一:由以上的計算可知,遠(yuǎn)小于,即甲方案日工資收入波動相對較小,所以小明應(yīng)選擇甲方案.
答案二:由以上的計算結(jié)果可以看出,,所以小明應(yīng)選擇乙方案.
(Ⅰ)甲方案中派送員日薪(單位:元)與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為: ,
乙方案中派送員日薪(單位:元)與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為:
(Ⅱ)①由已知,在這100天中,該公司派送員日平均派送單數(shù)滿足如下表格:
單數(shù) | 52 | 54 | 56 | 58 | 60 |
頻率 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以的分布列為:
152 | 154 | 156 | 158 | 160 | |
0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以
所以的分布列為:
140 | 152 | 176 | 200 | |
0.5 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以
②答案一:由以上的計算可知,雖然,但兩者相差不大,且遠(yuǎn)小于,即甲方案日工資收入波動相對較小,所以小明應(yīng)選擇甲方案.
答案二:由以上的計算結(jié)果可以看出,,即甲方案日工資期望小于乙方案日工資期望,所以小明應(yīng)選擇乙方案.
【點睛】
本題主要考查頻率分布直方圖,數(shù)學(xué)期望與方差的含義與實際應(yīng)用等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且離心率為,M為橢圓上任意一點,當(dāng)∠F1MF2=90°時,△F1MF2的面積為1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點,延長直線AF1,AF2分別與橢圓交于點B,D,設(shè)直線BD的斜率為k1,直線OA的斜率為k2,求證:k1·k2等于定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知x,y滿足約束條件 ,若z=y﹣ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值為( )
A. 或﹣1
B.2或
C.2或﹣1
D.2或1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系,某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了60名高中生,通過問卷調(diào)查,得到以下數(shù)據(jù):
0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
由以上數(shù)據(jù),計算得到K2的觀測值k≈9.643,根據(jù)臨界值表,以下說法正確的是( )
A. 沒有充足的理由認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)
B. 有0.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)
C. 有99.9%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)
D. 有99.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)
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