【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作,該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元;乙方案:底薪140元,每日前55單沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì),超過(guò)55單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)12元.
(Ⅰ)請(qǐng)分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y(單位:元)與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄,發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件:在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖,其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在(,](n=1,2,3,4,5)時(shí),日平均派送量為50+2n單.若將頻率視為概率,回答下列問(wèn)題:
①根據(jù)以上數(shù)據(jù),設(shè)每名派送員的日薪為X(單位:元),試分別求出甲、乙兩種方案的日薪X的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差;
②結(jié)合①中的數(shù)據(jù),根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想,幫助小明分析,他選擇哪種薪酬方案比較合適,并說(shuō)明你的理由。
(參考數(shù)據(jù):0.62=0.36,1.42=1.9 6,2.6 2=6.76,3.42=1 1.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1971.36)
【答案】(Ⅰ)甲方案的函數(shù)關(guān)系式為: ,乙方案的函數(shù)關(guān)系式為:;(Ⅱ)①見(jiàn)解析,②見(jiàn)解析.
【解析】
(Ⅰ)由題意可得甲方案中派送員日薪(單位:元)與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為: , 乙方案中派送員日薪(單位:元)與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為:.
(Ⅱ)①由題意求得X的分布列,據(jù)此計(jì)算可得,,.
②答案一:由以上的計(jì)算可知,遠(yuǎn)小于,即甲方案日工資收入波動(dòng)相對(duì)較小,所以小明應(yīng)選擇甲方案.
答案二:由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出,,所以小明應(yīng)選擇乙方案.
(Ⅰ)甲方案中派送員日薪(單位:元)與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為: ,
乙方案中派送員日薪(單位:元)與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為:
(Ⅱ)①由已知,在這100天中,該公司派送員日平均派送單數(shù)滿足如下表格:
單數(shù) | 52 | 54 | 56 | 58 | 60 |
頻率 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以的分布列為:
152 | 154 | 156 | 158 | 160 | |
0.2 | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以
所以的分布列為:
140 | 152 | 176 | 200 | |
0.5 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
所以
②答案一:由以上的計(jì)算可知,雖然,但兩者相差不大,且遠(yuǎn)小于,即甲方案日工資收入波動(dòng)相對(duì)較小,所以小明應(yīng)選擇甲方案.
答案二:由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出,,即甲方案日工資期望小于乙方案日工資期望,所以小明應(yīng)選擇乙方案.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查頻率分布直方圖,數(shù)學(xué)期望與方差的含義與實(shí)際應(yīng)用等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且離心率為,M為橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)∠F1MF2=90°時(shí),△F1MF2的面積為1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)A是橢圓C上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn),延長(zhǎng)直線AF1,AF2分別與橢圓交于點(diǎn)B,D,設(shè)直線BD的斜率為k1,直線OA的斜率為k2,求證:k1·k2等于定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見(jiàn)解析
【解析】
(Ⅰ)由題意可求得,則,橢圓的方程為.
(Ⅱ)設(shè),,
當(dāng)直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時(shí),.
當(dāng)直線、的斜率存在時(shí),,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得直線的斜率為,直線的斜率為,則.綜上可得:直線與的斜率之積為定值.
(Ⅰ)設(shè)由題,
解得,則,橢圓的方程為.
(Ⅱ)設(shè),,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),
設(shè),則,直線的方程為代入,
可得 ,,則,
直線的斜率為,直線的斜率為,
,
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),同理可得.
當(dāng)直線、的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,
則由消去可得:,
又,則,代入上述方程可得:
,,
則 ,
設(shè)直線的方程為,同理可得 ,
直線的斜率為
直線的斜率為, .
所以,直線與的斜率之積為定值,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知向量 =(2a,1), =(2b﹣c,cosC),且 ∥ .
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若 ,求b+c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B以及CD的中點(diǎn)P處,已知AB=20km,CB=10km,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD內(nèi)(含邊界),且與A,B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠,并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP,設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為km.
(I)設(shè),將表示成的函數(shù)關(guān)系式;
(II)確定污水處理廠的位置,使三條排污管道的總長(zhǎng)度最短,并求出最短值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知x=1是 的一個(gè)極值點(diǎn).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù) ,若函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=,g(x)=,若函數(shù)y=f(g(x))+a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,x3(其中x1<x2<x3),則2g(x1)+g(x2)+g(x3)的取值范圍為______.
【答案】
【解析】
首先研究函數(shù)和函數(shù)的性質(zhì),然后結(jié)合韋達(dá)定理和函數(shù)的性質(zhì)求解2g(x1)+g(x2)+g(x3)的取值范圍即可.
由題意可知:,
將對(duì)勾函數(shù)的圖象向右平移一個(gè)單位,再向上平移一個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖象,其圖象如圖所示:
由可得,
據(jù)此可知在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,
繪制函數(shù)圖象如圖所示:
則的最大值為,,
函數(shù)y=f(g(x))+a有三個(gè)不同的零點(diǎn),則,
令,則,
整理可得:,由韋達(dá)定理有:.
滿足題意時(shí),應(yīng)有:,,
故.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
【題型】填空題
【結(jié)束】
17
【題目】已知等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為,且滿足2=+m(m∈R).
(Ⅰ)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{}滿足,求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax,a>0.
(1)記f(x)的極小值為g(a),求g(a)的最大值;
(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f(x)≥0,求f(a)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了探究車流量與的濃度是否相關(guān),現(xiàn)采集到華中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一時(shí)間段車流量與的數(shù)據(jù)如表:
時(shí)間 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期日 |
車流量(萬(wàn)輛) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
的濃度(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;(提示數(shù)據(jù): )
(2)(I)利用(1)所求的回歸方程,預(yù)測(cè)該市車流量為12萬(wàn)輛時(shí)的濃度;(II)規(guī)定:當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi),空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu);當(dāng)一天內(nèi)的濃度平均值在內(nèi),空氣質(zhì)量等級(jí)為良,為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良,則應(yīng)控制當(dāng)天車流量不超過(guò)多少萬(wàn)輛?(結(jié)果以萬(wàn)輛為單位,保留整數(shù))參考公式:回歸直線的方程是,其中, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中,平面α過(guò)點(diǎn)A1 , B1 , 且CC1∥平面α,平面α與三棱臺(tái)的面相交,交線圍成一個(gè)四邊形.
(Ⅰ)在圖中畫出這個(gè)四邊形,并指出是何種四邊形(不必說(shuō)明畫法、不必說(shuō)明四邊形的形狀);
(Ⅱ)若AB=8,BC=2B1C1=6,AB⊥BC,BB1=CC1 , 平面BB1C1C⊥平面ABC,二面角B1﹣AB﹣C等于60°,求直線AB1與平面α所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求M的軌跡方程;
(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程.
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