Question

設函數=（為自然對數的底數），，記．
（1）為的導函數，判斷函數的單調性，并加以證明；
（2）若函數=0有兩個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）在上單調遞增．（2）實數a的取值范圍是（0，2）。

試題分析：（1），∴，
令，則，
∴在上單調遞增，即在上單調遞增．
（2）由（1）知在上單調遞增，而，
∴有唯一解，
的變化情況如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	遞減	極小值	遞增

 
又∵函數有兩個零點，
∴方程有兩個根，即方程有兩個根 
而，，
解得．
所以，若函數有兩個零點，實數a的取值范圍是（0，2）
點評：中檔題，利用導數研究函數單調區(qū)間，進一步判斷函數零點情況，提供了解答此類問題的一般方法。