Question

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，
AB與OP交于點(diǎn)M，設(shè)CD為過(guò)點(diǎn)M且不過(guò)圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點(diǎn)共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e₁=[]，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2sin（），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），求直線l被曲線C所截得的弦長(zhǎng)．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

Answer 1

【答案】分析：A．因?yàn)镻A，PB為圓O的兩條切線，所以O(shè)P垂直平分弦AB，在Rt△OAP中，OM•MP=AM²，圓O中，AM•BM=CM•DM，由此能夠證明O，C，P，D四點(diǎn)共圓．
B．設(shè)M=，則=3=，=，由此能求出M．
C．將ρ=2sin（），分別化為普通方程：x²+y²+2x-2y=0，3x+4y+1=0，由此能求出弦長(zhǎng)．
D．由柯西不等式知：（x+y+z）²≤[（）²+（）²+z²]•[（）²+（）²+1²]，故，由此能求出2x²+3y²+z²的最小值．
解答：A．選修4-1：（幾何證明選講）
證明：因?yàn)镻A，PB為圓O的兩條切線，
所以O(shè)P垂直平分弦AB，
在Rt△OAP中，OM•MP=AM²，…（4分）
在圓O中，AM•BM=CM•DM，
所以O(shè)M•MP=CM•DM，…（8分）
又弦CD不過(guò)圓心O，所以O(shè)，C，P，D四點(diǎn)共圓．…（10分）
B．選修4-2：（矩陣與變換）
設(shè)M=，則=3=，
故．…（4分）
=，故．…（7分）
聯(lián)立以上兩方程組解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，
故M=． …（10分）
C．選修4-4：（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
解：將方程ρ=2sin（），分別化為普通方程：
x²+y²+2x-2y=0，3x+4y+1=0，…（6分）
由曲線C的圓心為C（-1，1），半徑為，
所以圓心C到直線l的距離為，
故所求弦長(zhǎng)為=．…（10分）
D．選修4-5（不等式選講）
解：由柯西不等式可知：
（x+y+z）²≤[（）²+（）²+z²]•[（）²+（）²+1²]，…（5分）
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即：x=，y=，z=時(shí)，
2x²+3y²+z²取得最小值為．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：A考查與圓有關(guān)的比例線段的應(yīng)用，B考查矩陣與變換的應(yīng)用，C考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的應(yīng)用，D考查柯西不等式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用．