(選做題)在A,B,C,D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,⊙O的半徑OB垂直于直徑AC,M為AO上一點,BM的延長線交⊙O于N,過
N點的切線交CA的延長線于P.
(1)求證:PM2=PA•PC;
(2)若⊙O的半徑為2
3
,OA=
3
OM,求MN的長.
B.選修4-2:矩陣與變換
曲線x2+4xy+2y2=1在二階矩陣M=
.
1a
b1
.
的作用下變換為曲線x2-2y2=1,求實數(shù)a,b的值;
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中,圓C的極坐標方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)
,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
y=-1-
3
5
(t為參數(shù)),求直線l被圓C所截得的弦長.
D.選修4-5:不等式選講
設a,b,c均為正實數(shù).
(1)若a+b+c=1,求a2+b2+c2的最小值;
(2)求證:
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
分析:A:(1)做出輔助線連接ON,根據(jù)切線得到直角,根據(jù)垂直得到直角,即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°,根據(jù)同角的余角相等,得到角的相等關系,得到結論.
(2)本題是一個求線段長度的問題,在解題時,應用相交弦定理,即BM•MN=CM•MA,代入所給的條件,得到要求線段的長.
B:設P(x,y)為曲線x2-2y2=1上任意一點,P′(x′,y′)為曲線x2+4xy+2y2=1上與P對應的點,所以
x=x′+ay′
y=bx′+y′
,由此能夠求出a和b的值.
C:先兩邊同乘以ρ,利用公式即可得到圓的圓心和半徑,再將參數(shù)方程化為普通方程,結合直角坐標系下的點到直線的距離公式求解即得.
D:(1)根據(jù)(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a+b+c)2=1,可得 a2+b2+c2 的最小值為
1
3

(2)由a,b,c均為正實數(shù),可得
1
2
1
2a
+
1
2b
)≥
1
2
ab
1
a+b
,同理
1
2
1
2b
+
1
2c
)≥
1
b+c
,
1
2
1
2c
+
1
2a
)≥
1
c+a
,相加可得不等式成立.
解答:解:A:(1)證明:連接ON,因為PN切⊙O于N,
∴∠ONP=90°,
∴∠ONB+∠BNP=90°
∵OB=ON,
∴∠OBN=∠ONB
因為OB⊥AC于O,
∴∠OBN+∠BMO=90°,
故∠BNP=∠BMO=∠PMN,PM=PN
∴PM2=PN2=PA•PC
(2)∵OM=2,BO=2
3
,BM=4
∵BM•MN=CM•MA=(2
3
+2)(2
3
-2)(2
3
-2)=8,
∴MN=2.
B:(1)設P(x,y)為曲線x2-2y2=1上任意一點,
P′(x′,y′)為曲線x2+4xy+2y2=1上與P對應的點,
1a
b1
x′
y′
=
x
y
,
x=x′+ay′
y=bx′+y′

代入(x′+ay′)2-2(bx′+y′)2=1,
得(1-2b2)x'2+(2a-4b)x′y′+(a2-2)y'2=1,
∵方程x2+4xy+2y2=1,
1-2b2=1
2a-4b=4
a2-2=2

解得a=2,b=0.
C:⊙C的方程化為ρ=cosθ-sinθ,兩邊同乘以ρ,得ρ2=ρcosθ-ρsinθ
由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,
得x2+y2-x+y=0…(5分)
其圓心C坐標為(
1
2
,-
1
2
),半徑r=
2
2
,
又直線l的普通方程為3x+4y+1=0,
∴圓心C到直線l的距離d=
|
3
2
-2+1|
9+16
=
1
10
,
∴弦長AB=2
1
2
-
1
100
=
7
5
…(10分)
D:(1)因為a,b,c 均為正實數(shù),由柯西不等式得,
(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a+b+c)2=1,當且僅當a=b=c=
1
3
時等號成立,
∴a2+b2+c2 的最小值為
1
3
. …5分
證明:(2)∵a,b,c均為正實數(shù),
∴可得
1
2
1
2a
+
1
2b
)≥
1
2
ab
1
a+b

同理
1
2
1
2b
+
1
2c
)≥
1
b+c
,
1
2
1
2c
+
1
2a
)≥
1
c+a

三個不等式相加得
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
,當且僅當a=b=c時等號成立.…10分
點評:考查切割線定理、用綜合法證明不等式、圓的極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化,點到直線的距離公式等.要求學生能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置,體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區(qū)別,能進行極坐標和直角坐標的互化.屬于中等題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

選做題:在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共20分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,PA切⊙O于點A,D為PA的中點,過點D引割線交⊙O于B、C兩點.求證:∠DPB=∠DCP.
B.選修4-2:矩陣與變換
設M=
.
10
02
.
,N=
.
1
2
0
01
.
,試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程.
C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中,圓C的極坐標方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)
,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
(t為參數(shù)),求直線l被圓C所截得的弦長.
D.選修4-5:不等式選講
解不等式:|2x+1|-|x-4|<2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(選做題)在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(B)(選修4-2:矩陣與變換)
二階矩陣M有特征值λ=8,其對應的一個特征向量e=
1
1
,并且矩陣M對應的變換將點(-1,2)變換成點(-2,4),求矩陣M2
(C)(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)
已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點,極軸與x軸的正半軸重合,曲線C的極坐標方程為ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,直線l的參數(shù)方程為
x=-
3
t
y=1+t
(t為參數(shù),t∈R).試在曲線C上一點M,使它到直線l的距離最大.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

 選做題(在A、B、C、D四小題中只能選做兩題,并將選作標記用2B鉛筆涂黑,每小題10分,共20分,請在答題指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟).
A、(選修4-1:幾何證明選講)
如圖,BD為⊙O的直徑,AB=AC,AD交BC于E,求證:AB2=AE•AD
B、(選修4-2:矩形與變換)
已知a,b實數(shù),如果矩陣M=
1a
b2
所對應的變換將直線3x-y=1變換成x+2y=1,求a,b的值.
C、(選修4-4,:坐標系與參數(shù)方程)
設M、N分別是曲線ρ+2sinθ=0和ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
上的動點,判斷兩曲線的位置關系并求M、N間的最小距離.
D、(選修4-5:不等式選講)
設a,b,c是不完全相等的正數(shù),求證:a+b+c>
ab
+
bc
+
ca

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

選做題:在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,AD是∠BAC的平分線,⊙O過點A且與BC邊相切于點D,與AB、AC分別交于E,F(xiàn),求證:EF∥BC.

B.選修4-2:矩陣與變換
已知a,b∈R若矩陣M=
.
-1a
b3
.
所對應的變換把直線l:2x-y=3變換為自身,求a,b的值.

C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
將參數(shù)方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
(t為參數(shù))化為普通方程.
D.選修4-5:不等式選講
已知a,b是正數(shù),求證:(a+
1
b
)(2b+
1
2a
)≥
9
2

查看答案和解析>>

同步練習冊答案