選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計(jì)20分.
A選修4-1:幾何證明選講
如圖,延長(zhǎng)⊙O的半徑OA到B,使OA=AB,DE是圓的一條切線(xiàn),E是切點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作DE的垂線(xiàn),垂足為點(diǎn)C.
求證:∠ACB=
1
3
∠OAC.
B選修4-2:矩陣與變換
已知矩陣A=
.
11
21
.
,向量
β
=
1
2
.求向量
a
,使得A2
a
=
β

C選修4-3:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
a
3cos2θ+4sin2θ
,焦距為2,求實(shí)數(shù)a的值.
D選修4-4:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+
(a+b+c)2
3
(a,b.c為實(shí)數(shù))的最小值為m,若a-b+2c=3,求m的最小值.
分析:A連接OE,AE,并過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F,由DE是切線(xiàn),知OE⊥DC,由BC⊥DE,知OE∥AF∥BC,由此能夠推導(dǎo)出∠ACB=
1
3
∠OAC.
B由A=
11
21
,知A2=
11
21
11
21
=
32
43
,設(shè)
a
=
x′
y′
,則A2
α
=
β
,由此能求出向量
a
,使得A2
a
=
β

C由橢圓C的極坐標(biāo)方程得到
x2
a
3
+
y2
a
4
=1
,由此能求出a.
D由f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+
(a+b+c)2
3
=3(x-
a+b+c
3
2+a2+b2+c2.知x=
a+b+c
3
時(shí),f(x)取最小值a2+b2+c2,即m=a2+b2+c2,由此利用柯西不等式能求出m的最小值.
解答:解:A證明:連接OE,AE,并過(guò)點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F,
∵DE是圓的一條切線(xiàn),E是切點(diǎn),∴OE⊥DC,
又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC,
∴∠CAF=∠ACB,∠FAE=∠AEO,
∵OA=OE,∴∠AEO=∠EAO,∴∠EAO=∠FAE,
又∵點(diǎn)A是OB的中點(diǎn),∴點(diǎn)F是EC的中點(diǎn),
∴AE=AC,
∴∠CAF=∠FAE,
∴∠EAO=∠FAE=∠CAF,
∴∠ACB=
1
3
∠OAC.
B∵A=
11
21
,∴A2=
11
21
11
21
=
32
43
,
設(shè)
a
=
x′
y′
,則A2
α
=
β

32
43
x′
y′
=
1′
2′
,∴
3x+2y=1
4x+3y=2
,
解得x=-1,y=2,∴
α
=
-1′
2′

C∵橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
a
3cos2θ+4sin2θ
,焦距為2,
x2
a
3
+
y2
a
4
=1
,
a
3
-
a
4
=1,得a=12.
D∵f(x)=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+
(a+b+c)2
3

=3x2-2(a+b+c)x+a2+b2+c2+
(a+b+c)2
3

=3(x-
a+b+c
3
2+a2+b2+c2
∴x=
a+b+c
3
時(shí),f(x)取最小值a2+b2+c2,即m=a2+b2+c2,
∵a-b+2c=3,由柯西不等式得
[12+(-1)2+22]•(a2+b2+c2)≥(a-b+2c)2=9,
∴m=a2+b2+c2
9
6
=
3
2

當(dāng)且僅當(dāng)
a
1
=
b
-1
=
c
2
,即a=
3
4
,b=-
3
4
,c=
3
2
時(shí)等號(hào)成立,
∴m的最小值為
3
2
點(diǎn)評(píng):本題考查與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段的應(yīng)用,考查矩陣與變換的應(yīng)用,考查橢圓的極坐標(biāo)方程,考查柯西不等式的應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計(jì)20分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).
A.(選修4-1:幾何證明選講)
如圖,圓O的直徑AB=8,C為圓周上一點(diǎn),BC=4,過(guò)C作圓的切線(xiàn)l,過(guò)A作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)AD,D為垂足,AD與圓O交于點(diǎn)E,求線(xiàn)段AE的長(zhǎng).
B.(選修4-2:矩陣與變換)
已知二階矩陣A有特征值λ1=3及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α1=
1
1
,特征值λ2=-1及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α2=
1
-1
,求矩陣A的逆矩陣A-1
C.(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系(兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度),已知點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(-2,6),點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(4,
π
2
)
,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A且傾斜角為
π
4
,圓C以點(diǎn)B為圓心,4為半徑,試求直線(xiàn)l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程.
D.(選修4-5:不等式選講)
設(shè)a,b,c,d都是正數(shù),且x=
a2+b2
,y=
c2+d2
.求證:xy≥
(ac+bd)(ad+bc)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

附加題 選做題在A、B、C、D四小題中只能選做兩小題,每小題10分,共計(jì)20分,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
A.選做題(幾何證明選講)
如圖,從圓O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B,AB與OP交于點(diǎn)M,設(shè)CD為過(guò)點(diǎn)M且不過(guò)圓心O的一條弦,
求證:O、C、P、D四點(diǎn)共圓.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•鹽城一模)[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計(jì)20分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).A.(選修4-1:幾何證明選講)
如圖,⊙O的半徑OB垂直于直徑AC,D為AO上一點(diǎn),BD的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)E,過(guò)E點(diǎn)的圓的切線(xiàn)交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于P.
求證:PD2=PA•PC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計(jì)20分.
請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講如圖,AD是∠BAC的平分線(xiàn),⊙O過(guò)點(diǎn)A且與BC邊相切于點(diǎn)D,與AB,AC分別交于E,F(xiàn),求證:EF∥BC.
B.選修4-2:矩陣與變換
已知a,b∈R,若矩陣M=[
-1
b
a
3
]所對(duì)應(yīng)的變換把直線(xiàn)l:2x-y=3變換為自身,求a,b的值.
C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程將參數(shù)方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
t為參數(shù))化為普通方程.
D.選修4-5:已知a,b是正數(shù),求證(a+
1
b
)(2b+
1
2a
)≥92.

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