如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,ABCD,AB=4,BCCD=2,AA1=2,EE1,F分別是棱ADAA1,AB的中點(diǎn).

(1)證明:直線EE1∥平面FCC1;
(2)求二面角B-FC1-C的余弦值.
(1)見解析(2)
(1)證明 
法一 取A1B1的中點(diǎn)F1,連接FF1,C1F1,由于FF1BB1CC1,
所以F1∈平面FCC1

因此平面FCC1,即為平面C1CFF1.,連接A1D,F1C,由于 CD,
所以四邊形A1DCF1為平行四邊形,因此A1DF1C.又EE1A1D,得EE1F1C.
EE1?平面FCC1F1C?平面FCC1,故EE1∥平面FCC1.
法二 因?yàn)?i>F為AB的中點(diǎn),CD=2,AB=4,ABCD,所以CDAF.
因此四邊形AFCD為平行四邊形,所以ADFC.
CC1DD1,FCCC1CFC?平面FCC1,CC1?平面FCC1,
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1?平面ADD1A1,所以EE1∥平面FCC1.
(2)解 法一 取FC的中點(diǎn)H,由于FCBCFB,所以BHFC.又BHCC1,CC1FCC.所以BH⊥平面FCC1.過HHGC1FG,連接BG.由于HGC1F,BH⊥平面FCC1,所以C1F⊥平面BHG.因此BGC1F,所以∠BGH為所求二面角的平面角.在Rt△BHG中,BH,
FH=1,且△FCC1為等腰直角三角形,所以HGBG,因此cos∠BGH=,
即所求二面角的余弦值為.
法二 過DDRCDABR,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則F(,1,0),B(,3,0),C(0,2,0),C1(0,2,2).
所以=(0,2,0),=(-,-1,2),=(,3,0).
FBCBCDDF,所以DBFC.又CC1⊥平面ABCD,
所以為平面FCC1的一個(gè)法向量.
設(shè)平面BFC1的一個(gè)法向量為n=(x,yz),
則由x=1,得
因此n,所以cos〈,n〉==.
故所求二面角的余弦值為.
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A.B.C.D.

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