Question

如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，平面，，，，.

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）取的中點，先證明四邊形為平行四邊形得到，然后通過勾股定理證明從而得到，然后結(jié)合四邊形為正方形得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）解法1是先取的中點，連接，利用（1）中的結(jié)論平面得到，利用等腰三角形三線合一得到，利用直線與平面垂直的判定定理得到平面，通過證明四邊形為平行四邊形得到，從而得到平面，從而得到，然后利用底面四邊形為正方形得到，由這兩個條件來證明平面，從而得到是直線與平面所成的角，然后在直角中計算，從而求出直線與平面所成角的正切值；解法2是先取的中點，連接，利用（1）中的結(jié)論平面得到，利用等腰三角形三線合一得到，利用直線與平面垂直的判定定理得到平面，然后選擇以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出線與平面所成角的正切值.
試題解析：（1）取的中點，連接，則，

由（1）知，，且，四邊形為平行四邊形，
，，
在中，，又，得，，
在中，，，，
，，，即，
四邊形是正方形，，
，平面，平面，平面；
（2）解法1：連接，與相交于點，則點是的中點，
取的中點，連接、、，

則，.
由（1）知，且，，且.
四邊形是平行四邊形.，且，
由（1）知平面，又平面，.
，，平面，平面，
平面.平面.
平面，.
，，平面，平面，平面.
是直線與平面所成的角.
在中，.
直線與平面所成角的正切值為；
解法2：連接，與相交于點，則點是的中點，
則，.由（1）知，且，，且.
四邊形是平行四邊形.
，且，
由（1）知平面，又平面，.
，，平面，平面，
平面.平面.
以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

，，.
設(shè)平面的法向量為，由，，
得，，得.
令，則平面的一個法向量為.
設(shè)直線與平面所成角為，
則.，.
直線與平面所成角的正切值為.