【題目】已知是偶函數(shù),.
(1)求的值,并判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,說明理由;
(2)設(shè),若函數(shù)與的圖像有且僅有一個交點(diǎn),求實數(shù)的取值范圍;
(3)定義在上的一個函數(shù),如果存在一個常數(shù),使得式子對一切大于1的自然數(shù)都成立,則稱函數(shù)為“上的函數(shù)”(其中,).試判斷函數(shù)是否為“上的函數(shù)”,若是,則求出的最小值;若不是,則說明理由.(注:).
【答案】(1),遞減;理由見解析;(2);(3)是,.
【解析】
(1)由偶函數(shù)的定義可得f(﹣x)=f(x),結(jié)合對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),解方程可得所求值;函數(shù)h(x)=f(x)x=log4(4x+1)﹣x在R上遞減,運(yùn)用單調(diào)性的定義和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可證明;
(2)由題意可得log4(4x+1)x=log4(a2xa)有且只有一個實根,可化為2x+2﹣x=a2xa,即有a,化為a﹣1,運(yùn)用換元法和對勾函數(shù)的單調(diào)性,即可得到所求范圍.
(3)利用求解即可
(1)f(x)=log4(4x+1)+kx是偶函數(shù),
可得f(﹣x)=f(x),即log4(4﹣x+1)﹣kx=log4(4x+1)+kx,
即有log42kx,可得log44﹣x=﹣x=2kx,
由x∈R,可得k;
又函數(shù)h(x)=f(x)x=log4(4 x+1)﹣x=在R上遞減,
理由:設(shè)x1<x2,則h(x1)﹣h(x2)=log4( )﹣log4()
=log4(4﹣x1+1)﹣log4(4﹣x2+1),
由x1<x2,可得﹣x1>﹣x2,可得log4(4﹣x1+1)>log4(4﹣x2+1),
則h(x1)>h(x2),即y=f(x)x在R上遞減;
(2)g(x)=log4(a2xa),若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且僅有一個交點(diǎn),
即為log4(4x+1)x=log4(a2xa)有且只有一個實根,
可化為2x+2﹣x=a2xa,
即有a,化為a﹣1,
可令t=12x(t>1),則2x,
則a﹣1,
由9t34在(1,)遞減,(,+∞)遞增,
可得9t34的最小值為234=﹣4,
當(dāng)a﹣1=﹣4時,即a=﹣3滿足兩圖象只有一個交點(diǎn);
當(dāng)t=1時,9t34=0,可得a﹣1>0時,即a>1時,兩圖象只有一個交點(diǎn),
綜上可得a的范圍是(1,+∞)∪{﹣3}.
(3)是函數(shù),理由如下:由題當(dāng)任意的,有
因為單調(diào)遞增,則,故的最小值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于定義域為D的函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間[m,n]D,同時滿足:
①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);
②當(dāng)定義域是[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n].則稱[m,n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.
(1)證明:[0,1]是函數(shù)y=f(x)=x2的一個“和諧區(qū)間”.
(2)求證:函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”.
(3)已知:函數(shù)(a∈R,a≠0)有“和諧區(qū)間”[m,n],當(dāng)a變化時,求出n﹣m的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若函數(shù)有兩個不同極值點(diǎn),求實數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時,求證:對任意,恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在等腰梯形中,分別為的中點(diǎn).現(xiàn)分別沿將和折起,使得平面平面,平面平面,連接,如圖2.
(1)求證:平面平面;
(2)求多面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果,已知正方形的邊長為2,平行軸,頂點(diǎn),和分別在函數(shù),和的圖像上,則實數(shù)的值為________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:若數(shù)列滿足,存在實數(shù),對任意,都有,則稱數(shù)列有上界,是數(shù)列的一個上界,已知定理:單調(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂(即極限存在).
(1)數(shù)列是否存在上界?若存在,試求其所有上界中的最小值;若不存在,請說明理由;
(2)若非負(fù)數(shù)列滿足,(),求證:1是非負(fù)數(shù)列的一個上界,且數(shù)列的極限存在,并求其極限;
(3)若正項遞增數(shù)列無上界,證明:存在,當(dāng)時,恒有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方),斜率為的直線交橢圓于,兩點(diǎn),過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn),且,直線交軸于點(diǎn).
(1)設(shè)橢圓的離心率為,當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時,的坐標(biāo)為,求的值.
(2)若橢圓的方程為,且,是否存在使得成立?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)集由實數(shù)構(gòu)成,且滿足:若(且),則.
(1)若,試證明中還有另外兩個元素;
(2)集合是否為雙元素集合,并說明理由;
(3)若中元素個數(shù)不超過8個,所有元素的和為,且中有一個元素的平方等于所有元素的積,求集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方體的棱長為,點(diǎn)E,F,G分別為棱AB,,的中點(diǎn),下列結(jié)論中,正確結(jié)論的序號是___________.
①過E,F,G三點(diǎn)作正方體的截面,所得截面為正六邊形;
②平面EFG;
③平面;
④異面直線EF與所成角的正切值為;
⑤四面體的體積等于.
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