Question

18．符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數(shù)f（x）=x-[x]．給出下列五個命題：
①函數(shù)f（x）的定義域是R，值域為[0，1]；       
②方程$f（x）=\frac{1}{2}$有無數(shù)個解；
③函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；                      
④函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
⑤函數(shù)$F（x）=f（x）+\frac{1}{2}x-1$有3個零點
其中正確命題的序號有②③⑤．

Answer 1

分析 可求出函數(shù){x}的取值范圍，即值域，可判斷①不對；
令{x}=x-[x]=$\frac{1}{2}$，可求出對應(yīng)的x的值，且對應(yīng)的有無數(shù)多個，故②正確；
根據(jù)周期函數(shù)的定義，可驗證函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)，從而可判③正確；
根據(jù)函數(shù){x}的性質(zhì)和單調(diào)性可知{x}在每一個單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)，但在整個定義域上不是增函數(shù)，故④不正確

解答 解：函數(shù){x}的定義域是R，但是0≤x-[x]＜1，故函數(shù){x}的值域為[0，1），故①不對；
∵{x}=x-[x]=$\frac{1}{2}$，∴x=[x]+$\frac{1}{2}$，∴x=1.5，2.5，3.5，…，應(yīng)為無數(shù)多個，故②正確；
∵{x+1}=x+1-[x+1]=x-{x}={x}，故函數(shù){x}是周期為1的周期函數(shù)，故③正確；
函數(shù){x}在每一個單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)，但在整個定義域上不是增函數(shù)，故④不正確；
函數(shù)$F（x）=f（x）+\frac{1}{2}x-1$有3個零點，即f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+1有3個零點，
函數(shù)函數(shù)f（x）和y=-$\frac{1}{2}$x²+1的圖象，如圖示：
，
故⑤正確；
故答案為：②③⑤．

點評 本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)--定義域、值域、單調(diào)性、周期性．考查對基礎(chǔ)知識的掌握程度和靈活運用．