Question

（本小題14分）如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是，過(guò)點(diǎn)并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且，橢圓上不同的兩點(diǎn)滿足條件：、、成等差數(shù)列．

（Ⅰ）求該橢圓的方程；

（Ⅱ）求弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（Ⅲ）設(shè)弦的垂直平分線的方程為，求m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；（Ⅲ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意及橢圓的定義可知，所求橢圓的焦點(diǎn)為，長(zhǎng)軸為，再利用，進(jìn)一步求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）根據(jù)橢圓的第二定義知，

，同時(shí)由成等差數(shù)列得到：，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為；（Ⅲ）設(shè)帶入橢圓方程利用點(diǎn)差法得到：再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式，得到：（當(dāng)時(shí)也成立）①，點(diǎn)在弦的垂直平分線上，得到②．聯(lián)立①②，得到，又因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，進(jìn)而求得的取值范圍為：．

試題解析：（Ⅰ）由橢圓定義及條件知，,得a=5,又c=4,

所以b==3．故橢圓方程為：．

（Ⅱ）由點(diǎn)在橢圓上，得．因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有，

由、、成等差數(shù)列，得

,由此得出：．

設(shè)弦的中點(diǎn)為,則．

（Ⅲ）：由在橢圓上．

得

①－②得，

即9=0（x1≠x2）

將 （k≠0）代入上式，

得 即（當(dāng)k=0時(shí)也成立）．

由點(diǎn)在弦的垂直平分線上，得,

所以．

由點(diǎn)在線段（與B關(guān)于x軸對(duì)稱）的內(nèi)部，得,所以

考點(diǎn)：1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2．中點(diǎn)坐標(biāo)公式；3．點(diǎn)差法．