【題目】已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0時

成立.

()判斷f(x)在[-1,1]上的單調(diào)性,并證明;

()解不等式:

()若f(x)≤m2-2am+1對所有的a∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍

【答案】() 單調(diào)遞增() () m=0 m-2或m2

【解析】

試題分析:)任取x1,x2[-1,1],且x1<x2,利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增;)利用f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,列出不等式組,即可求出不等式的解集;)問題轉(zhuǎn)化為m2-2am0,對a[-1,1]恒成立,通過若m=0,若m0,分類討論,判斷求解即可

試題解析:()任取x1,x2[-1,1],且x1<x2,則-x2[-1,1],f(x)為奇函數(shù),

f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=·(x1x2),2分

由已知得>0,x1x2<0,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).

f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增. 4分

()f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,6分

不等式的解集為. 7分

()f(1)=1,f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增.在[-1,1]上,f(x)1.

問題轉(zhuǎn)化為m2-2am+11,即m2-2am0,對a[-1,1]恒成立. 9分

下面來求m的取值范圍.設(shè)g(a)=-2m·am20.

m=0,則g(a)=00,對a[-1,1]恒成立.

m0,則g(a)為a的一次函數(shù),若g(a)0,對a[-1,1]恒成立,

必須g(-1)0且g(1)0,m-2或m2.

綜上,m=0 m-2或m2 12

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