Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)記為f′（x），若對于任意的實數(shù)x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）-1是奇函數(shù)，則不等式f（x）＜e^x的解集為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)令g（x）=

f(x)

ex

，由求導公式和法則求出g′（x），根據(jù)條件判斷出g′（x）的符號，得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，再由奇函數(shù)的結(jié)論：f（0）=0求出g（0）的值，將不等式進行轉(zhuǎn)化后，利用g（x）的單調(diào)性可求出不等式的解集．

解答： 解：由題意令g（x）=

f(x)

ex

，
則g′(x)=

f′(x)•ex-f(x)•(ex)′

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

，
∵f（x）＞f′（x），
∴g′（x）＜0，
即g（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∵y=f（x）-1為奇函數(shù)，
∴f（0）-1=0，即f（0）=1，g（0）=1，
則不等式f（x）＜e^x等價為

f(x)

ex

＜1=g（0），
即g（x）＜g（0），
解得x＞0，
∴不等式的解集為（0，+∞），
故答案為：（0，+∞）．

點評：本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，奇函數(shù)的結(jié)論的靈活應用，以及利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式是解決本題的關(guān)鍵，考查學生的解題構(gòu)造能力和轉(zhuǎn)化思想．