【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=a,E為CD上任意一點.
(I)求證:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)若CD= a,是否存在這樣的E點,使得AD1與平面B1AE成45°的角?說明理由.

【答案】證明:(I)連接A1D,B1C,
∵AA1=AD,AA1∥AD,AA1⊥AD,
∴四邊形AA1D1D是正方形,
∴AD1⊥A1D,
∵A1B1⊥平面AA1D1D,AD1平面AA1D1D,
∴A1B1⊥AD1
又A1D平面A1B1CD,A1B1平面A1B1CD,A1B1∩A1D=A1 ,
∴AD1⊥平面A1B1CD,又B1E平面A1B1CD,
∴B1E⊥AD1
(II)以A為原點,以AB,AD,AA1為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),D1(0,a,a),B1 a,0,a),設(shè)E(m,a,0),(0 ).
=(0,a,a), =( a,0,a), =(m,a,0).
設(shè)平面B1AE的法向量為 =(x,y,z),則
,令x=1得 =(1,﹣ ,﹣ ).
∴cos< >= =﹣ =﹣
假設(shè)存在這樣的E點,使得AD1與平面B1AE成45°的角,
= ,解得m= a.
∴CD上存在點E使得AD1與平面B1AE成45°的角.

【解析】(I)連接A1D,B1C,則可通過證明AD1⊥平面A1B11E⊥AD1 . (II)以A為原點建立坐標(biāo)系,設(shè)DE=m,求出 及平面B1AE的法向量 ,令|cos< >|= 解出m,根據(jù)m的值得出結(jié)論.
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個公共點;平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點;異面直線: 不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點;已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則

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(I)調(diào)查公司在抽樣時用到的是哪種抽樣方法?

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(III)若從這40輛車速在的小型汽車中任意抽取2輛,求抽出的2輛車車速都在的概率.

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【題目】已知拋物線E:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸交于點K,過點K作圓(x﹣5)2+y2=9的兩條切線,切點為M,N,|MN|=3
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