Question

動(dòng)點(diǎn)P在x軸與直線l：y＝3之間的區(qū)域(含邊界)上運(yùn)動(dòng)，且到點(diǎn)F(0,1)和直線l的距離之和為4.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)Q(0，－1)作曲線C的切線，求所作的切線與曲線C所圍成區(qū)域的面積.

Answer 1

(1)設(shè)P(x，y)，根據(jù)題意，

得＋3－y＝4，

化簡(jiǎn)，得y＝x²(y≤3).

 (2)設(shè)過(guò)Q的切線方程為y＝kx－1，代入拋物線方程，整理得x²－4kx＋4＝0.

由Δ＝16k²－16＝0，解得k＝±1.

于是所求切線方程為y＝±x－1(亦可用導(dǎo)數(shù)求得切線方程).

切點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)，(－2,1).

由對(duì)稱性知所求的區(qū)域的面積為

S＝2∫[x²－(x－1)]dx＝.