分析:(1)由函數(shù)f(x)=x-1在區(qū)間[-2,1]上是增函數(shù)求出在[-2,1]上的值域,不滿足在區(qū)間上封閉的概念;
(2)把給出的函數(shù)g(x)=
變形為3+
,分a=3,a>3,a<3三種情況進(jìn)行討論,利用函數(shù)在區(qū)間[3,10]上封閉列式求出a的取值范圍;
(3)求出函數(shù)h(x)=x
3-3x的導(dǎo)函數(shù),得到三個不同的單調(diào)區(qū)間,然后對a,b的取值分類進(jìn)行求解.
解答:解:(1)f(x)=x-1在區(qū)間[-2,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)的值域?yàn)閇-3,0]
而[-3,0]?[-2,1],所以f(x)在區(qū)間[-2,1]上不是封閉的;
(2)因?yàn)間(x)=
=3+
,
①當(dāng)a=3時,函數(shù)g(x)的值域?yàn)閧3}⊆[3,10],適合題意.
②當(dāng)a>3時,函數(shù)g(x)=3+
在區(qū)間[3,10]上單調(diào)遞減,故它的值域?yàn)?span id="bbgwbud" class="MathJye">[
,
],
由
[,]⊆[3,10],得
,解得3≤a≤31,故3<a≤31.
③當(dāng)a<3時,在區(qū)間[3,10]上有
g(x)==3+<3,顯然不合題意.
綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是3≤a≤31;
(3)因?yàn)閔(x)=x
3-3x,所以h
′(x)=3x
2-3=3(x+1)(x-1),
當(dāng)x∈(-∞,-1)時,h
′(x)>0,當(dāng)x∈(-1,1)時,h
′(x)0.
所以h(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增,在(-1,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增.
①當(dāng)a<b≤-1時,h(x)在區(qū)間[a,b]上遞增,所以
,
即
,解得-2≤a≤0或a≥2,b≤-2或0≤b≤2,又a<b≤-1,此時無解.
②當(dāng)a≤-1且-1<b≤1時,因h(x)
max=h(-1)=2>b,矛盾,不合題意
③當(dāng)a≤-1且b>1時,因?yàn)閔(-1)=2,h(1)=-2都在函數(shù)的值域內(nèi),故a≤-2,b≥2,
又
,得
,解得-2≤a≤0或a≥2,b≤-2或0≤b≤2,從而a=-2,b=2.
④當(dāng)-1≤a<b≤1時,h(x)在區(qū)間[a,b]上遞減,
,即
(*)
而a,b∈Z,經(jīng)檢驗(yàn),滿足-1≤a<b≤1的整數(shù)組a,b均不合(*)式.
⑤當(dāng)-1<a<1且b≥1時,因h(x)
min=h(1)=-2<a,矛盾,不合題意.
⑥當(dāng)b>a≥1時,h(x)在區(qū)間[a,b]上遞增,所以
,
即
,解得-2≤a≤0或a≥2,b≤-2或0≤b≤2,又b>a≥1,此時無解.
綜上所述,所求整數(shù)a,b的值為a=-2,b=2.