Question

【題目】已知橢圓()的焦距為2，橢圓的左右焦點分別為，過右焦點作軸的垂線交橢圓于兩點，.

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點作直線交橢圓于兩點，若△的內切圓的面積為，求△的面積；

（3）已知，為圓上一點(在軸右側)，過作圓的切線交橢圓于兩點，試問△的周長是否為一定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）是，.

【解析】

（1）由題意結合橢圓的性質可得，再由點即可求得、，即可得解；

（2）由題意結合橢圓的性質可得△的周長，再由（為內切圓半徑）即可得解；

（3）按照斜率是否存在討論，當直線斜率存在時，設，，由兩點之間距離公式、橢圓性質可得焦半徑、，聯立方程結合韋達定理、弦長公式可得，再由直線與圓相切可得，代入運算即可得解.

（1）由橢圓焦距為2可得，，

又過右焦點作軸的垂線交橢圓于、兩點，，

不妨設點，則，解得，，

所以橢圓的方程為；

（2）由題意△的周長，

又△的內切圓的面積為，所以△的內切圓的半徑為，

所以△的面積；

（3）由題意，圓心為，半徑為，

若斜率不存在時，不妨設點，

此時△的周長；

當直線斜率存在時，設，，

則即，

則，

同理，，

由消去y得，，

則，

由直線與相切可得，即，

所以

，

因為在軸右側，所以，

所以

，

所以△的周長

；

綜上，△的周長為一定值，且周長.