【題目】已知橢圓C1 =1(a>b>0)的離心率為e= ,且過(guò)點(diǎn)(1, ).拋物線C2:x2=﹣2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣ ).
(Ⅰ)求橢圓C1和拋物線C2的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)M是直線l:2x﹣4y+3=0上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作拋物線C2的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線AB交橢圓C1于P,Q兩點(diǎn).
(i)求證直線AB過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo);
(ii)當(dāng)△OPQ的面積取最大值時(shí),求直線AB的方程.

【答案】解:(I)由于橢圓C1中,
則設(shè)其方程為 ,
由于點(diǎn) 在橢圓上,故代入得λ=1.
故橢圓C1的方程為
拋物線C2中,
∵拋物線C2:x2=﹣2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,﹣ ),
,故p=1,
從而橢圓C1的方程為 ,拋物線C2的方程為x2=﹣2y.
(II)(i)證明:設(shè)點(diǎn)M(x0 , y0),且滿(mǎn)足2x0﹣4y0+3=0,
點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),則切線MA的斜率為﹣x1 ,
從而MA的方程為y=﹣x1(x﹣x1)+y1 ,
考慮到 ,則切線MA的方程為x1x+y+y1=0,
同理切線MB的方程為x2x+y+y2=0,
由于切線MA,MB同過(guò)點(diǎn)M,
從而有 ,
由此點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2)在直線x0x+y+y0=0上.
又點(diǎn)M在直線2x﹣4y+3=0上,則2x0﹣4y0+3=0,
故直線AB的方程為(4y0﹣3)x+2y+2y0=0,
即y0(4x+2)+(2y﹣3x)=0,
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)
(ii)解:設(shè)P(x3 , y3),Q(x4 , y4),
考慮到直線AB的方程為x0x+y+y0=0,
則聯(lián)立方程
消去y并簡(jiǎn)化得 ,
從而 , ,
從而 ,
點(diǎn)O到PQ的距離 ,
從而
= ,
當(dāng)且僅當(dāng) ,即 ,
又由于2x0﹣4y0+3=0,
從而消去x0 ,
,解得 ,
從而
∴所求的直線為x+2y+2=0或x﹣14y﹣10=0
【解析】(I)由已知條件,設(shè)橢圓方程為 ,把點(diǎn) 代入能求出橢圓C1的方程.拋物線C2中,由 ,能求出拋物線C2的方程.(II)(i)設(shè)點(diǎn)M(x0 , y0),且滿(mǎn)足2x0﹣4y0+3=0,點(diǎn)A(x1 , y1),B(x2 , y2),由于切線MA,MB同過(guò)點(diǎn)M,有 ,由此能證明直線AB過(guò)定點(diǎn) .(ii)設(shè)P(x3 , y3),Q(x4 , y4),聯(lián)立方程 ,得 ,由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出直線方程.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若在橢圓C上存在點(diǎn)Q,滿(mǎn)足 ,(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)λ取值范圍.

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組 別

頻數(shù)

頻率

[145.5,149.5)

1

0.02

[149.5,153.5)

4

0.08

[153.5,157.5)

20

0.40

[157.5,161.5)

15

0.30

[161.5,165.5)

8

0.16

[165.5,169.5)

m

n

合 計(jì)

M

N

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