Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，則稱x0是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+（b+1）x+b-2

（Ⅰ）當(dāng)a=2，b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；

（Ⅱ）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)y=f（x）的圖象上A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，且直線是線段AB的垂直平分線，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2） （3）

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，解得，，所以函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為.

（2）因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)，方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，所以，解得。

（3）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為，則，且是方程的兩個(gè)不等根，所以，直線的斜率為，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本�是線段的垂直平分線，所以，且在直線上，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是。

考點(diǎn)：新定義問題、函數(shù)與方程、直線方程、基本不等式。