（理）已知橢圓C：數(shù)學(xué)公式（a＞0，b＞0），F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，若點P 是橢圓上一點，滿足那么|PF2|=|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于橢圓的短軸長，則橢圓C的離心率為________．


分析：如圖，點P在橢圓上，由題意知△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形．作出底邊上的高F2D，可得Rt△DF1F2中，|DF1|=a-c，|DF2|=2b，|F1F2|=2c，利用勾股定理列式，化簡整理即可得到a與c的比值，結(jié)合橢圓離心率的公式，可得橢圓C的離心率．
解答：∵點P在橢圓C上，∴|PF1|+|PF2|=2a
又∵|PF2|=|F1F2|=2c，
∴|PF1|=2a-2c
過點F2作F2D⊥PF1于D點，則F2到直線PF1的距離為|DF2|=2b，
因為|PF2|=|F1F2|，可得D是PF1的中點，所以DF1=|PF1|=a-c，
Rt△DF1F2中，|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2，即（a-c）2+（2b）2=（2c）2
整理得：5a2-2ac-7c2=0，即（a+c）（5a-7c）=0
∵a+c不為0，∴5a-7c=0，得c=a
因此橢圓C的離心率為e==
故答案為：
點評：本題給出橢圓上一點與橢圓兩個焦點構(gòu)成以焦距為一腰的等腰三角形，并且等腰三角形的高等于橢圓的短軸長，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本概念，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，若點P 是橢圓上一點，滿足那么|PF2|=|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于橢圓的短軸長，則橢圓C的離心率為
5
7
5
7
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理）已知橢圓C：
x2
2
+
y2
4
=1，過橢圓C上一點P（1，
2
）作傾斜角互補的兩條直線PA、PB，分別交橢圓C于A、B兩點，則直線AB的斜率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（05年湖南卷理）（14分）

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點為F1、F2，離心率為e. 直線

l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關(guān)于直線l的對稱點，設(shè)＝λ.

   （Ⅰ）證明：λ＝1－e2；

   （Ⅱ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年銀川一中三模理）（12分） 已知橢圓C:（a＞b＞0），點F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，點P(2,)在直線x=上，且|F1F2|=|PF2|,直線:y=kx+m為動直線，且直線與橢圓C交于不同的兩點A、B。

   （Ⅰ）求橢圓C的方程；

   （Ⅱ）若在橢圓C上存在點Q，滿足（O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)取何值時，△ABO的面積最大，并求出這個最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年寶山區(qū)模擬理 ） （18分）已知橢圓C：(a>b>0)的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為。

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍.

（3）如圖，過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點，設(shè)原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d，試求d=1時a,b滿足的條件。

 

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