Question

（理）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個焦點，若點P 是橢圓上一點，滿足那么|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直線PF₁的距離等于橢圓的短軸長，則橢圓C的離心率為

5

7

．

Answer 1

分析：如圖，點P在橢圓上，由題意知△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．作出底邊上的高F₂D，可得Rt△DF₁F₂中，|DF₁|=a-c，|DF₂|=2b，|F₁F₂|=2c，利用勾股定理列式，化簡整理即可得到a與c的比值，結(jié)合橢圓離心率的公式，可得橢圓C的離心率．

解答：解：∵點P在橢圓C上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a
又∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=2a-2c
過點F₂作F₂D⊥PF₁于D點，則F₂到直線PF₁的距離為|DF₂|=2b，
因為|PF₂|=|F₁F₂|，可得D是PF₁的中點，所以DF₁=

1

2

|PF₁|=a-c，
Rt△DF₁F₂中，|DF₁|²+|DF₂|²=|F₁F₂|²，即（a-c）²+（2b）²=（2c）²
整理得：5a²-2ac-7c²=0，即（a+c）（5a-7c）=0
∵a+c不為0，∴5a-7c=0，得c=

5

7

a
因此橢圓C的離心率為e=

c

a

=

5

7

故答案為：

5

7

點評：本題給出橢圓上一點與橢圓兩個焦點構(gòu)成以焦距為一腰的等腰三角形，并且等腰三角形的高等于橢圓的短軸長，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的標準方程與基本概念，屬于基礎(chǔ)題．