Question

（理）已知橢圓C：

x2

2

+

y2

4

=1，過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P（1，

2

）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB，分別交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，則直線AB的斜率為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)PB的直線方程為y-

2

=k(x-1)，與橢圓C聯(lián)立方程組，求出B點(diǎn)坐標(biāo)；再設(shè)PA的直線方程為y-

2

=-k（x-1），與橢圓C聯(lián)立方程組，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，由此能求出直線AB的斜率．

解答：解：由題意知，兩直線PA，PB的斜率必存在，
設(shè)PB的斜率為k，（k＞0），
則PB的直線方程為y-

2

=k(x-1)，
由

y- 2 =k(x-1) x2 2 + y2 4 =1

，
得(2+k2)x2+2k(

2

-k)x+(

2

-k)2-4=0，
設(shè)B（x_B，y_B），
則1+xB=

2k(k- 2 )

2+k2

，xB=

2k(k- 2 )

2+k2

-1=

k2-2 2 k-2

2+k2

，
設(shè)A（x_A，y_A），
同理可得xA=

k2+2 2 k-2

2+k2

，
則x_A-x_B=

4 2 k

2+k2

，
y_A-y_B=-k（x_A-1）-k（x_B-1）=

8k

2+k2

，
∴AB的斜率k=

yA-yB

xA-xB

=

8k 2+k2

4 2 k 2+k2

=

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線斜率的求法，涉及到橢圓、直線方程、韋達(dá)定理、斜率公式等知識(shí)點(diǎn)，是中檔題．