記函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在x0∈D,使得f(x)=x成立,則稱(x0,x0)為函數(shù)f(x)圖象上的“穩(wěn)定點”.
(1)是否存在實數(shù)a,使函數(shù)f(x)=的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點?若存在,求出范圍;若不存在,請說明理由.
(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),求證:函數(shù)必有奇數(shù)個穩(wěn)定點.
(1)解:設(shè)函數(shù)f(x)=的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點, 則f(x)==x, 即有兩個相異的根, 所以 解之,得a>5或a<1,a≠-. 因此存在a∈(-∞,-)∪(-,1)∪(5,+∞)使得函數(shù)f(x)=的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點; (2)證明:因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù), 所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0. 因此(0,0)是f(x)的一個穩(wěn)定點. 假設(shè)函數(shù)還有穩(wěn)定點(x0,x0), 即f(x0)=x0,則必定有f(-x0)=-x0. 這說明(-x0,-x0)也是函數(shù)的穩(wěn)定點. 綜上所述,奇函數(shù)的穩(wěn)定點除原點外,都是成對出現(xiàn),因此其穩(wěn)定點的個數(shù)是奇數(shù). |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年江蘇省高一第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(滿分16分)
記函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在,使成立,則稱以為坐標(biāo)的點為函數(shù)圖象上的不動點。
(1)若函數(shù)的圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點,求應(yīng)滿足的條件;
(2)下述結(jié)論“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個不動點,則不動點有奇數(shù)個”是否正確?若正確,請給予證明,并舉出一例;若不正確,請舉出一反例說明
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(1)是否存在實數(shù)a,使函數(shù)f(x)= 的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點?若存在,求出范圍;若不存在,請說明理由.
(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),求證:函數(shù)必有奇數(shù)個穩(wěn)定點.
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(滿分16分)記函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在,使成立,則稱以為坐標(biāo)的點為函數(shù)圖象上的不動點。
(1)若函數(shù)的圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點,求應(yīng)滿足的條件;
(2)下述結(jié)論“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個不動點,則不動點有奇數(shù)個”是否正確?若正確,請給予證明,并舉出一例;若不正確,請舉出一反例說明。
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(滿分16分)記函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在,使成立,則稱以為坐標(biāo)的點為函數(shù)圖象上的不動點。
(1)若函數(shù)的圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點,求應(yīng)滿足的條件;
(2)下述結(jié)論“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個不動點,則不動點有奇數(shù)個”是否正確?若正確,請給予證明,并舉出一例;若不正確,請舉出一反例說明。
(請將解答寫在規(guī)定的區(qū)域,寫在其它區(qū)域的不得分。)
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(滿分16分)記函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在,使成立,則稱以為坐標(biāo)的點為函數(shù)圖象上的不動點。
(1)若函數(shù)的圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點,求應(yīng)滿足的條件;
(2)下述結(jié)論“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個不動點,則不動點有奇數(shù)個”是否正確?若正確,請給予證明,并舉出一例;若不正確,請舉出一反例說明。
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