Question

記函數(shù)f(x)的定義域為D，若存在x₀∈D，使得f(x)=x成立，則稱(x₀，x₀)為函數(shù)f(x)圖象上的“穩(wěn)定點”.

(1)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)= 的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點?若存在，求出范圍；若不存在，請說明理由.

(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，求證:函數(shù)必有奇數(shù)個穩(wěn)定點.

Answer 1

(1)解:設(shè)函數(shù)f(x)= 的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點，

則f(x)= =x，

即有兩個相異的根，

所以

解之，得a＞5或a＜1，a≠-.

因此存在a∈（-∞，-）∪（-，1）∪（5，+∞）使得函數(shù)f（x）=的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點.

(2)證明:因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.

因此(0，0)是f(x)的一個穩(wěn)定點.

假設(shè)函數(shù)還有穩(wěn)定點(x₀，x₀)，

即f(x₀)=x₀，則必定有f(-x₀)=-x₀.

這說明(-x₀，-x₀)也是函數(shù)的穩(wěn)定點.

綜上所述，奇函數(shù)的穩(wěn)定點除原點外，都是成對出現(xiàn)，因此其穩(wěn)定點的個數(shù)是奇數(shù).