Question

【題目】對于數(shù)列，定義， ．

(1) 若，是否存在，使得？請說明理由；

(2) 若， ，求數(shù)列的通項公式；

(3) 令，求證：“為等差數(shù)列”的充要條件是“的前4項為等差數(shù)列，且為等差數(shù)列”．

Answer 1

【答案】（1）不存在（2）（3）見解析

【解析】試題分析：(1)由題意知數(shù)列為遞增數(shù)列，計算出數(shù)列的和與可得結(jié)果；(2)根據(jù)，可得，故可得，即數(shù)列， 均為公比為6的等比數(shù)列，可得其通項公式；(3)將題意轉(zhuǎn)化為，先證必要性：設(shè)，其中為常數(shù)，可得，得結(jié)果，再證充分性：利用數(shù)學歸納法證得結(jié)果.

試題解析：（1）由，可知數(shù)列為遞增數(shù)列， 計算得， ，所以不存在，使得；

（2）由，可以得到當時，

，

又因為，所以， 進而得到， 兩式相除得，所以數(shù)列， 均為公比為6的等比數(shù)列，

由，得，所以；

（3）證明：由題意，

當時， ，

因此，對任意，都有．

必要性()：若為等差數(shù)列，不妨設(shè)，其中為常數(shù)，

顯然，

由于=，

所以對于， 為常數(shù)，

故為等差數(shù)列；

充分性()：由于的前4項為等差數(shù)列，不妨設(shè)公差為

當時，有成立

假設(shè)時為等差數(shù)列，

即

當時，由為等差數(shù)列，得，

即： ，

所以

，

因此，

綜上所述：數(shù)列為等差數(shù)列．