Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù).

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.(是自然對數(shù)的底數(shù)，)

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）代入a值，求函數(shù)的導數(shù)，由導數(shù)的幾何意義求得切線斜率，根據(jù)點斜式可得切線方程；（2）求導數(shù)，通過討論a的范圍，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的最值可求a的范圍；（3）求g（x）解析式，求函數(shù)導數(shù)，討論函數(shù)單調(diào)性，由函數(shù)單調(diào)性和最值可確定a的范圍．

（1）當時，，則，所以，

所以切線方程為.

（2），

①當時，恒成立，所以單調(diào)遞增，

因為，所以有唯一零點，即符合題意；

②當時，令，解得，列表如下：

	-	0	+
		極小值

由表可知，.

（i）當，即時，，所以符合題意；

（ii）當，即時，，

因為，且，所以，

故存在，使得，所以不符題意；

（iii）當，即時，，

因為，

設(shè)，

則，

所以單調(diào)遞增，即，所以，

又因為，所以，

故存在，使得，所以不符題意；

綜上，的取值范圍為.

（3），則，

①當時，恒成立，所以單調(diào)遞增，

所以，即符合題意；

②當時，恒成立，所以單調(diào)遞增，

又因為

，

所以存在，使得，

且當時，，即在上單調(diào)遞減，

所以，即不符題意；

綜上，的取值范圍為.