設(shè)函數(shù)(),.
(1) 將函數(shù)圖象向右平移一個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖象,試寫出的解析式及值域;
(2) 關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3) 對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù),若存在常數(shù),使得和都成立,則稱直線為函數(shù)與的“分界線”.設(shè),,試探究與是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.
的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)轉(zhuǎn)化為解集的兩個(gè)端點(diǎn)所在區(qū)間問題,從而把問題轉(zhuǎn)化為研究二次方程的根的分布問題;又由于轉(zhuǎn)化后的不等式可以分解因式因此可以化為更簡單的問題求解; (3)該題一般的思考應(yīng)該是分兩次研究兩個(gè)恒成立問題,含有兩個(gè)參數(shù),增加問題的難度,如果能轉(zhuǎn)化為求公共切線問題,就可以使問題得到簡化,因此可以想到這兩條曲線是否存在公共點(diǎn),即探討兩曲線的交點(diǎn),再研究過交點(diǎn)的公共切線;該題考查函數(shù)性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、解不等式、導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸能力、分析問題解決問題能力,其中(1)是簡單題, (2)是中檔題, (3)是難題。
21解:(1),值域?yàn)?sub> …………2分
(2)解法一:不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè),
等價(jià)于恰有三個(gè)整數(shù)解,故,
令,由且,
所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間,
則另一個(gè)零點(diǎn)一定在區(qū)間, …………4分
故解之得. …………6分
解法二:恰有三個(gè)整數(shù)解,故,即,
,
所以,又因?yàn)?sub>, …………4分
所以,解之得. ……6分
(3)設(shè),則.
所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
因此時(shí),取得最小值,
則與的圖象在處有公共點(diǎn). ………8分
設(shè)與存在 “分界線”,方程為,
即,
由在恒成立,則在恒成立 .
所以成立,
因此. ………8分
下面證明恒成立.
設(shè),則.
所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
因此時(shí)取得最大值,則成立.
故所求“分界線”方程為:. …………12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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∫ | e 0 |
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