Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

x3

3

-(a+1)x2+4ax+b，其中a、b∈R若函數(shù)f（x）在x=3處取得極小值是

1

2

，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）在x=3處取得極小值是

1

2

，得f′（3）=0，可解得a值，再由f（3）=

1

2

可求得b值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的表達(dá)式，解不等式f′（x）＞0即可得到單調(diào)增區(qū)間；

解答：解：（I）∵f′（x）=x²-2（a+1）x+4a，
∴f′（3）=9-6（a+1）+4a=0，解得 a=

3

2

，
又f(3)=

1

2

，
所以

27

3

-（a+1）•3²+4a×3+b=

1

2

，把a(bǔ)=

3

2

代入該式，解得b=-4，
所以a=

3

2

，b=-4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=x²-5x+6，
由f′（x）＞0，得x＞3或x＜2，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，2），（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性問題，屬基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確求導(dǎo)，正確理解導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系是解決問題的基礎(chǔ)．