已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù)，求的取值范圍；

（3）若方程有唯一解，試求實數(shù)的值.

 

【答案】

（1）    （2）實數(shù)的值為

【解析】(1)先對求導，然后求出x=1的導數(shù)，可寫出直線的點斜式方程化成一般式方程即可.

（2）本題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上同時恒成立問題解決即可。

(3) 本題的解題思路原方程等價于，令，則原方程即為。因為當時原方程有唯一解，所以函數(shù)與的圖像在軸右側(cè)有唯一的交點.然后利用導數(shù)研究h(x)的圖像從圖像上觀察y=m與y=h(x)何時有一個公共點即可。

解：（1）因為，所以切線的斜率.又知，則代入點斜式方程有.即.        ------------3分

（2）因為，又（定義域），

所以當時，；當時，.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

又，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

欲使函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù)，

則，解之得. ------------8分

（3）原方程等價于，令，則原方程即為。

因為當時原方程有唯一解，所以函數(shù)與的圖像在軸右側(cè)有唯一的交點    --9分

又，且，所以當時，，當時，

即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得最小值，從而當時原方程有唯一解的充要條件是，

所以實數(shù)的值為.   

 

練習冊系列答案
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x
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x+1
，  x
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，
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x
．
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1
n2(n+1)2
]an+
1
4n
，試證明：當n≥2時，4≤an＜4e
3
4
．

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x2+1
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（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

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