【題目】如圖,在底面為正方形的四棱錐中,平面,點(diǎn),分別在棱,上,且滿(mǎn)足,.

(1)證明:平面

(2)若,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見(jiàn)解析; (2).

【解析】

1)在棱上取一點(diǎn),使得,連接,,可證明是平行四邊形,可得,由線(xiàn)面平行的判定定理可得結(jié)果;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)以軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的法向量,結(jié)合平面的一個(gè)法向量為,利用空間向量夾角余弦公式求解即可.

(1)在棱上取一點(diǎn),使得,連接,

因?yàn)?/span>,,所以,

所以.又因?yàn)?/span>,,所以,,

所以是平行四邊形,所以,

因?yàn)?/span>平面,平面,所以平面.

(2)依題意,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè),則,,

所以,.

設(shè)平面的法向量為,則,即,取,

.

平面,所以平面的一個(gè)法向量為,

所以,

又二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】若正四面體PQMN的頂點(diǎn)分別在給定的四面體ABCD的面上,每個(gè)面上恰有一個(gè)點(diǎn),那么,( ).

A. 當(dāng)四面體ABCD是正四面體時(shí),正四面體PQMN有無(wú)數(shù)個(gè),否則,正四面體PQMN只有一個(gè)

B. 當(dāng)四面體ABCD是正四面體時(shí),正四面體PQMN有無(wú)數(shù)個(gè),否則,正四面體PQMN不存在

C. 當(dāng)四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等時(shí),正四面體PQMN有無(wú)數(shù)個(gè),否則,正四面體PQMN只有一個(gè)

D. 對(duì)任何四面體ABCD,正四面體PQMN都有無(wú)數(shù)個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在某次投籃測(cè)試中,有兩種投籃方案:方案甲:先在A點(diǎn)投籃一次,以后都在B點(diǎn)投籃;方案乙:始終在B點(diǎn)投籃.每次投籃之間相互獨(dú)立.某選手在A點(diǎn)命中的概率為,命中一次記3分,沒(méi)有命中得0分;在B點(diǎn)命中的概率為,命中一次記2分,沒(méi)有命中得0分,用隨機(jī)變量表示該選手一次投籃測(cè)試的累計(jì)得分,如果的值不低于3分,則認(rèn)為其通過(guò)測(cè)試并停止投籃,否則繼續(xù)投籃,但一次測(cè)試最多投籃3.

(1)若該選手選擇方案甲,求測(cè)試結(jié)束后所得分的分布列和數(shù)學(xué)期望.

(2)試問(wèn)該選手選擇哪種方案通過(guò)測(cè)試的可能性較大?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富,除了可以很方便地網(wǎng)購(gòu),網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)也開(kāi)始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一調(diào)查機(jī)構(gòu)針對(duì)該市市場(chǎng)占有率最高的甲、乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣(mài)企業(yè)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)外賣(mài)甲,外賣(mài)乙)的經(jīng)營(yíng)情況進(jìn)行了調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如表:

1日

2日

3日

4日

5日

外賣(mài)甲日接單(百單)

5

2

9

8

11

外賣(mài)乙日接單(百單)

2.2

2.3

10

5

15

(1)據(jù)統(tǒng)計(jì)表明,之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.

(。┱(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明:(若,則可認(rèn)為有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系(值精確到0.001))

(ⅱ)經(jīng)計(jì)算求得之間的回歸方程為.假定每單外賣(mài)業(yè)務(wù)企業(yè)平均能獲純利潤(rùn)3元,試預(yù)測(cè)當(dāng)外賣(mài)乙日接單量不低于2500單時(shí),外賣(mài)甲所獲取的日純利潤(rùn)的大致范圍:(值精確到0.01)

(2)試根據(jù)表格中這五天的日接單量情況,從平均值和方差角度說(shuō)明這兩家外賣(mài)企業(yè)的經(jīng)營(yíng)狀況.

相關(guān)公式:相關(guān)系數(shù)

參考數(shù)據(jù):

.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】近年來(lái),我國(guó)工業(yè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速,工業(yè)增加值連年攀升,某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近十年(從2008年到2017年)的工業(yè)增加值(萬(wàn)億元),如下表:

年份

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

年份序號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

工業(yè)增加值

13.2

13.8

16.5

19.5

20.9

22.2

23.4

23.7

24.8

28

依據(jù)表格數(shù)據(jù),得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

5.5

20.6

82.5

211.52

129.6

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖和表中數(shù)據(jù),此研究機(jī)構(gòu)對(duì)工業(yè)增加值(萬(wàn)億元)與年份序號(hào)的回歸方程類(lèi)型進(jìn)行了擬合實(shí)驗(yàn),研究人員甲采用函數(shù),其擬合指數(shù);研究人員乙采用函數(shù),其擬合指數(shù);研究人員丙采用線(xiàn)性函數(shù),請(qǐng)計(jì)算其擬合指數(shù),并用數(shù)據(jù)說(shuō)明哪位研究人員的函數(shù)類(lèi)型擬合效果最好.(注:相關(guān)系數(shù)與擬合指數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系).

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及統(tǒng)計(jì)值,建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);

(3)預(yù)測(cè)到哪一年的工業(yè)增加值能突破30萬(wàn)億元大關(guān).

附:樣本 的相關(guān)系數(shù),

.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在地面上同一地點(diǎn)觀測(cè)遠(yuǎn)方勻速垂直上升的熱氣球,在上午10點(diǎn)整熱氣球的仰角是到上午10點(diǎn)20分的仰角變成.請(qǐng)利用下表判斷到上午11點(diǎn)整時(shí),熱氣球的仰角最接近哪個(gè)度數(shù)( )

0.5

0.559

0.629

0.643

0.656

0.669

0.682

0.695

0.707

0.866

0.829

0.777

0.766

0.755

0.743

0.731

0.719

0.707

0.577

0.675

0.810

0.839

0.869

0.900

0.933

0.966

1.0

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)20個(gè)兩兩不同的正整數(shù),且集合中有201個(gè)不同的元素.求集合中不同元素個(gè)數(shù)的最小可能值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直. ,,.

(1)求證:

(2)求證:平面平面;

(3)線(xiàn)段上是否存在點(diǎn),使平面?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖是的導(dǎo)函數(shù)的圖象,對(duì)于下列四個(gè)判斷,其中正確的判斷是( .

A.上是增函數(shù);

B.當(dāng)時(shí),取得極小值;

C.上是增函數(shù)、在上是減函數(shù);

D.當(dāng)時(shí),取得極大值.

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