Question

【題目】已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線恰好與直線垂直．

(1)求實(shí)數(shù)的值；

(2)求在函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)處切線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：第一問根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對函數(shù)求導(dǎo)，求出切線的斜率，根據(jù)兩條直線垂直，斜率互為負(fù)倒數(shù)，列出方程，再結(jié)合函數(shù)圖象過點(diǎn)M，列出方程組，解方程組求出a,b，第二問把a,b的值代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示出切線的斜率，利用配方法求出二次函數(shù)的值域，即切線斜率的范圍.

試題解析：

(1)因?yàn)閥′＝f′(x)＝3ax2＋2bx.

∵f(x)＝ax3＋bx2的圖象過點(diǎn)M(1,4)，

∴a＋b＝4.

又∵曲線在點(diǎn)M處的切線與直線x＋9y＝0垂直，

∴f′(1)＝9，∴3a＋2b＝9.

由 得， .

(2)由(1)知y′＝f′(x)＝3ax2＋2bx＝3x2＋6x

＝3(x＋1)2－3≥－3.