Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1 ， M是AB的中點(diǎn)，△A1MC1是等腰三角形，D為CC1的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)．
（1）若DE∥平面A1MC1 ， 求 ；
（2）求直線BC和平面A1MC1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：取BC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，C1N，

∵M(jìn)，N分別為AB，CB中點(diǎn)

∴MN∥AC∥A1C1，

∴A1，M，N，C1四點(diǎn)共面，

且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，

又DE∩平面BCC1B1，

且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，

∵D為CC1的中點(diǎn)，∴E是CN的中點(diǎn)，

∴

（2）解：連結(jié)B1M，

因?yàn)槿�棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，

∴AA1⊥AB，即四邊形ABB1A1為矩形，且AB=2AA1，

∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴B1M⊥A1M，

又A1C1⊥平面ABB1A1，

∴A1C1⊥B1M，從而B1M⊥平面A1MC1，

∴MC1是B1C1在平面A1MC1內(nèi)的射影，

∴B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M，

又B1C1∥BC，

∴直線BC和平面A1MC1所成的角即B1C1與平面A1MC1所成的角

設(shè)AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形

∴ ，則MC1=2， ，

∴cos = ，

∴直線BC和平面A1MC1所成的角的余弦值為 ．

【解析】（1）取BC中點(diǎn)N，連結(jié)MN，C1N，由已知得A1 ， M，N，C1四點(diǎn)共面，由已知條件推導(dǎo)出DE∥C1N，從而求出 ．（2）連結(jié)B1M，由已知條件得四邊形ABB1A1為矩形，B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M，由此能求出直線BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的性質(zhì)和空間角的異面直線所成的角，需要了解一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能得出正確答案．