Question

【題目】設(shè)函數(shù)，函數(shù)，則方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（ ）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增和在任意區(qū)間，上，函數(shù)的值為定值得在任意區(qū)間，上，方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，再分別對(duì)時(shí)，時(shí)，時(shí)，求得的解，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明，，時(shí)，恒成立，即無解，從而得選項(xiàng)。

由題意知，，，，則時(shí)，。

由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，

由，，知：在任意區(qū)間，上，函數(shù)的值為定值。

則在任意區(qū)間，上，方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解。

①當(dāng)時(shí)，，令，解得,

故此時(shí)有唯一解；

②當(dāng)時(shí)，，令，解得,

故此時(shí)有唯一解；

③當(dāng)時(shí)，，令，解得，

故此時(shí)有唯一解；

④當(dāng)時(shí)，，令，解得,

故此時(shí)無解，因?yàn)?/span>，所以恒成立；

⑤設(shè)，，時(shí)，恒成立，

而，，時(shí)，，

則恒成立等同于恒成立，

當(dāng)，，時(shí)，

，

所以當(dāng)，，時(shí)，則有仍然恒成立。

由④知時(shí)，即時(shí)，恒成立，

則，，時(shí)，恒成立，即無解。

綜上所述，方程的實(shí)數(shù)根為，以及，共3個(gè)。

故選：C。