Question

（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù) 
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；
(2)令，（）其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率≤恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．

Answer 1

（1）的極大值為，此即為最大值 ；
(2）≥；(3) 。

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
（1）依題意，知的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)時(shí)，，
判定單調(diào)性得到極值。
（2）轉(zhuǎn)化為，，則有≤，在上恒成立，所以≥，解決。
（3）因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233239480711.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一實(shí)數(shù)解，
所以有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)，分析圖像與x軸的交點(diǎn)問題。
解: （1）依題意，知的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)時(shí)，，
……………2分
令=0，解得．（∵）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233240338517.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一解，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減。
所以的極大值為，此即為最大值 ……………4分
(2），，則有≤，在上恒成立，所以≥，             
當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以≥………8分
(3)因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233239480711.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一實(shí)數(shù)解，
所以有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)，
則．令，．  
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233241571459.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以（舍去），，
當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在（，+∞）單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，=0，取最小值． 則既……………10分所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233241571459.png" style="vertical-align:middle;" />，所以（*）設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233242335528.png" style="vertical-align:middle;" />，所以方程（*）的解為，即，解得……………12分