Question

（2012•株洲模擬）如圖，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（2）求二面角E-DF-C的余弦值；
（3）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出

BP

BC

的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證明線面平行，在平面內(nèi)找到一條可能與已知直線平行的直線，觀察到平面BEF中三條已知直線中，EF可能與AB平行，故可以以此為切入點進行證明．
（2）要求二面角的余弦，找出二面角的平面角，然后通過解三角形，求出這個平面角的余弦值，進而給出二面角的余弦值．
（3）線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據(jù)．垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據(jù)已知條件去思考有關的性質定理；根據(jù)要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來．

解答：解：（1）AB∥平面DEF，理由如下
如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點，得EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF．
∴AB∥平面DEF．
（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角
∴AD⊥BD
∴AD⊥平面BCD
取CD的中點M，這時EM∥AD
∴EM⊥平面BCD
過M作MN⊥DF于點N，連接EN，則EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角
在Rt△EMN中，EM=1，MN=

3

2

，EN=

7

2

，所以cos∠MNE=

21

7

．
∴tan∠MNE=

3

2

，

sin∠MNE

cos∠MNE

=

3

2

，

sin2∠MNE

cos 2∠MNE

=

3

4

∴cos∠MNE=

21

7

．
二面角E-DF-C的余弦值：

21

7

．
（3）在線段BC上存在點P，使AP⊥DE
證明如下：在線段BC上取點P．使BP=

1

3

BC，
過P作PQ⊥CD于Q，
∵AD⊥平面BCD
∴PQ⊥平面ACD
∴DQ=

1

3

DC=

2 3

3

，
∴tan∠DAQ=

DQ

AD

═

2 3 3

2

=

3

3

，∴∠DAQ=30°
在等邊△ADE中，∠DAQ=30°
∴AQ⊥DE
∵PQ⊥平面ACD
∴AP⊥DE．AQ∩AP=A
∴DE⊥平面APQ，
∴AP⊥DE．
此時BP=

1

3

BC，
∴

BP

BC

=

1

3

．

點評：本題考查的知識點是空間中直線與平面之間的位置關系，直線與平面所成的角，其中熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直、線線垂直、面面垂直之間的相互轉化及線面夾角的定義，是解答本題的關鍵．