(2012•株洲模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線:x-
3
y=4
相切.
(1)求圓O的方程;
(2)若圓O上有兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱,且|MN|=2
3
,求直線MN的方程;
(3)圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn),圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列,求
PA
PB
的取值范圍.
分析:(1)利用點(diǎn)到直線的距離公式求出半徑r,從而求得圓O的方程.
(2)用點(diǎn)斜式設(shè)出MN的方程為y=2x+b,由條件求出圓心O到直線MN的距離等于
r2-(
MN
2
)
2
=1,由1=
|0-0+b|
5

求出b的值,即可得到MN的方程.
(3)由題意可得|PA|•|PB|=|PO|2 ,設(shè)點(diǎn)P(x,y),代入化簡(jiǎn)可得x2=y2+2.由點(diǎn)P在圓內(nèi)可得 x2+y2<4,可得0≤y2<1.化簡(jiǎn)
PA
PB
=2(y2-1),從而求得
PA
PB
的取值范圍.
解答:解:(1)半徑r=
|0-0-4|
1+3
=2,故圓O的方程為 x2+y2=4.
(2)∵圓O上有兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱,故MN的斜率等于直線x+2y=0斜率的負(fù)倒數(shù),等于2,
設(shè)MN的方程為y=2x+b,即2x-y+b=0.
由弦長(zhǎng)公式可得,圓心O到直線MN的距離等于
r2-(
MN
2
)
2
=1.
由點(diǎn)到直線的距離公式可得 1=
|0-0+b|
5
,b=±
5
,故MN的方程為2x-y±
5
=0.
(3)圓O與x軸相交于A(-2,0)、B(2,0)兩點(diǎn),圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列,
∴|PA|•|PB|=|PO|2 ,設(shè)點(diǎn)P(x,y),
 則有
(x+2)2+y2
(x-2)2+y2
=x2+y2,化簡(jiǎn)可得 x2=y2+2.
由點(diǎn)P在圓內(nèi)可得 x2+y2<4,故有 0≤y2<1.
PA
PB
=(-2-x,-y)•(2-x,-y)=x2+y2-4=2(y2-1)∈[-2,0).
PA
PB
的取值范圍是[-2,0).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì),直線和圓的位置關(guān)系,兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,屬于中檔題.
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1
m
+
2
n
的最小值為
3+2
2
3+2
2

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1
3
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2
2

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