【題目】如圖1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體.
(Ⅰ)求證:AB⊥平面ADC;
(Ⅱ)若AD=1,二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值為 ,求二面角B﹣AD﹣E的余弦值.
【答案】(Ⅰ)解:因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,
又BD⊥DC,所以DC⊥平面ABD.
因?yàn)锳B平面ABD,所以DC⊥AB.
又因?yàn)檎郫B前后均有AD⊥AB,DC∩AD=D,
所以AB⊥平面ADC
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB⊥平面ADC,所以二面角C﹣AB﹣D的平面角為∠CAD.
又DC⊥平面ABD,AD平面ABD,所以DC⊥AD.
依題意 .
因?yàn)锳D=1,所以 .
設(shè)AB=x(x>0),則 .
依題意△ABD~△BDC,所以 ,即 .
解得 ,故 .
如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz,
則D(0,0,0), , ,
, ,
所以 , .
由(Ⅰ)知平面BAD的法向量 .
設(shè)平面ADE的法向量
由 得
令 ,得 ,
所以 .
所以 .
由圖可知二面角B﹣AD﹣E的平面角為銳角,
所以二面角B﹣AD﹣E的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)證明DC⊥AB.AD⊥AB即可得AB⊥平面ADC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB⊥平面ADC,即二面角C﹣AB﹣D的平面角為∠CAD二面角C﹣AB﹣D的平面角的正切值為 ,解得AB,如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz,求出平面BAD的法向量 ,平面ADE的法向量,即可得二面角B﹣AD﹣E的余弦值
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí),掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a,b]上存在x0(a<x0<b),滿足f(x0)= ,則稱函數(shù)y=f(x)是[a,b]上的“平均值函數(shù)”,x0是它的一個(gè)均值點(diǎn).例如y=|x|是[﹣2,2]上的平均值函數(shù),0就是它的均值點(diǎn).若函數(shù)f(x)=x2﹣mx﹣1是[﹣1,1]上的“平均值函數(shù)”,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn , 則下列四個(gè)命題中,錯(cuò)誤的是( )
A.若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,則數(shù)列{ }的公差為 的等差數(shù)列
B.若數(shù)列{ }是公差為d的等差數(shù)列,則數(shù)列{an}是公差為2d的等差數(shù)列
C.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列
D.若數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差相等的等差數(shù)列,則{an}是等差數(shù)列
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知不等式ln(x+1)﹣1≤ax+b對(duì)一切x>﹣1都成立,則 的最小值是( )
A.e﹣1
B.e
C.1﹣e﹣3
D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足an= ,若從{an}中提取一個(gè)公比為q的等比數(shù)列{a },其中k1=1且k1<k2<…<kn , kn∈N*,則滿足條件的最小q的值為( )
A.
B.
C.
D.2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下四個(gè)命題中其中真命題個(gè)數(shù)是( ) ①為了了解800名學(xué)生的成績(jī),打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣本,考慮用系統(tǒng)抽樣,則分段的間隔k為40;
②線性回歸直線 = x+ 恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心( , );
③隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),若在(﹣∞,1)內(nèi)取值的概率為0.1,則在(2,3)內(nèi)的概率為0.4;
④若事件M和N滿足關(guān)系P(M∪N)=P(M)+P(N),則事件M和N互斥.
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】4月23日是世界讀書(shū)日,為提高學(xué)生對(duì)讀書(shū)的重視,讓更多的人暢游于書(shū)海中,從而收獲更多的知識(shí),某高中的校學(xué)生會(huì)開(kāi)展了主題為“讓閱讀成為習(xí)慣,讓思考伴隨人生”的實(shí)踐活動(dòng),校學(xué)生會(huì)實(shí)踐部的同學(xué)隨即抽查了學(xué)校的40名高一學(xué)生,通過(guò)調(diào)查它們是喜愛(ài)讀紙質(zhì)書(shū)還是喜愛(ài)讀電子書(shū),來(lái)了解在校高一學(xué)生的讀書(shū)習(xí)慣,得到如表列聯(lián)表:
喜歡讀紙質(zhì)書(shū) | 不喜歡讀紙質(zhì)書(shū) | 合計(jì) | |
男 | 16 | 4 | 20 |
女 | 8 | 12 | 20 |
合計(jì) | 24 | 16 | 40 |
(Ⅰ)根據(jù)如表,能否有99%的把握認(rèn)為是否喜歡讀紙質(zhì)書(shū)籍與性別有關(guān)系?
(Ⅱ)從被抽查的16名不喜歡讀紙質(zhì)書(shū)籍的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,求抽到男生人數(shù)ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(ξ).
參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
下列的臨界值表供參考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,動(dòng)點(diǎn)P在其表面上運(yùn)動(dòng),且|PA|=x,把點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度L=f(x)稱為“喇叭花”函數(shù),給出下列結(jié)論: ① ;② ;③ ;④
其中正確的結(jié)論是: . (填上你認(rèn)為所有正確的結(jié)論序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某市擬在長(zhǎng)為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道,賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數(shù)y=Asinωx(A>0,ω>0)x∈[0,4]的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為 ;賽道的后一部分為折線段MNP,為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全,限定∠MNP=120°
(1)求A,ω的值和M,P兩點(diǎn)間的距離;
(2)應(yīng)如何設(shè)計(jì),才能使折線段賽道MNP最長(zhǎng)?
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