【題目】已知函數(shù)fx= ,其中a0

)若a=1,求曲線y=fx)在點(diǎn)(2,f2))處的切線方程;

)若在區(qū)間上,fx)>0恒成立,求a的取值范圍.

【答案】⑴y="6x-9(2)" 0<a<5

【解析】試題分析:1)利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率即可;
2)在區(qū)間上, 恒成立恒成立,令,解得,以下分兩種情況, 討論,分類求出函數(shù)最大值即可.

試題解析:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x3x2+1,f(2)=3;f' (x)=3x2-3xf' (2)=6.

所以曲線yf(x) 在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程y-3=6(x-2),即y=6x-9.

(2)f' (x)=3ax2-3x=3x(ax-1),令f' (x)=0,解得x=0或x

以下分兩種情況討論:

①若0<a≤2,則,當(dāng)x變化時(shí),f' (x),f(x)的變化情況如下表:

x

(-,0)

0

(0,

f' (x)

0

f(x)

遞增

極大值

遞減

當(dāng)x[-,]上,f(x)>0等價(jià)于,即解不等式組得-5<a<5.因此0<a≤2.

②若a>2,則0<,當(dāng)x變化時(shí),f' (x),f(x)的變化情況如下表:

X

(-,0)

0

(0,

f' (x)

0

0

f'(x)

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增

當(dāng)x[-,]上,f(x)>0等價(jià)于,即解不等式組得a<5,或a<-.因此2<a<5. 綜合①和②,可知a的取值范圍為0<a<5.

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