【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調性;
(2)用表示中的最大值,若函數(shù)只有一個零點,求的取值范圍.
【答案】(1) 在上單調遞減,在上單調遞增,.
(2)
【解析】
(1)先求函數(shù)的導函數(shù),再討論時, 時,函數(shù)的單調性即可;
(2)分別討論函數(shù)在當,當時,當時,函數(shù)零點個數(shù),然后結合函數(shù)在的零點個數(shù)即可得解.
解:(1)函數(shù)的定義域為,且.
當時,對恒成立,所以在上單調遞增.
當時,令,得,
當時,;當時,.
所以在上單調遞減,在上單調遞增,.
(2)①當時, ,從而,所以在上無零點,
②當時, ,
若,所以是的零點;
若,所以不是的零點.
③當時, ,所以在上的零點個數(shù)只需要考慮在上的零點個數(shù).
在上的零點個數(shù)在上實根的個數(shù)在上實根的個數(shù).
令函數(shù),則,所以在上單調遞減,在上單調遞增;又,,,
當或時,在上無零點;當或時, 在上有唯一零點, 時, 在上有兩個零點,
綜上可得:當時,在上有無零點, 當時,在上有1個零點, 當時,在上有2個零點, 當時,在上有1個零點,
則在上有唯一零點, 的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】目前,青蒿素作為一線抗瘧藥品得到大力推廣某農科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產(chǎn)量的影響,在山上和山下的試驗田中分別種植了株青蒿進行對比試驗.現(xiàn)在從山上和山下的試驗田中各隨機選取了株青蒿作為樣本,每株提取的青蒿素產(chǎn)量(單位:克)如下表所示:
編號位置 | ① | ② | ③ | ④ |
山上 | ||||
山下 |
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計山下試驗田青蒿素的總產(chǎn)量;
(2)記山上與山下兩塊試驗田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為,,根據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計與的大小關系(只需寫出結論);
(3)從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機選取株,記這株的產(chǎn)量總和為
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)設點,直線與曲線交于兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】新高考方案規(guī)定,普通高中學業(yè)水平考試分為合格性考試(合格考)和選擇性考試(選擇考).其中“選擇考”成績將計入高考總成績,即“選擇考”成績根據(jù)學生考試時的原始卷面分數(shù),由高到低進行排序,評定為A,B,C,D,E五個等級.某試點高中2019年參加“選擇考”總人數(shù)是2017年參加“選擇考”總人數(shù)的2倍,為了更好地分析該校學生“選擇考”的水平情況,統(tǒng)計了該校2017年和2019年“選擇考”成績等級結果,得到如圖表:
針對該校“選擇考”情況,2019年與2017年比較,下列說法正確的是( )
A.獲得A等級的人數(shù)不變B.獲得B等級的人數(shù)增加了1倍
C.獲得C等級的人數(shù)減少了D.獲得E等級的人數(shù)不變
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲烷,化學式,是最簡單的有機物,在自然界分布很廣,也是重要的化工原料.甲烷分子結構為正四面體結構(正四面體是每個面都是正三角形的四面體),碳原子位于正四面體的中心,4個氫原子分別位于正四面體的4個頂點.若相鄰兩個氫原子間距離為,則相鄰的碳、氫原子間的距離是(不計原子大。 )
A.B.C.D.
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【題目】2013年華人數(shù)學家張益唐證明了孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式,此事引起了國際數(shù)學界的轟動許多專家認為這是數(shù)論研究中的一項重大突破世界主流媒體都對這項重要成果作了報道并給予了高度評價,印度媒體甚至稱贊張益唐為“中國的拉馬努金”.孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一,可以這樣描述:存在無窮多個素數(shù),使得是素數(shù),素數(shù)對稱為孿生素數(shù).在不超過20的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其中能夠組成孿生素數(shù)的概率是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】微博橙子輔導用簡單隨機抽樣方法抽取了100名同學,對其社會實踐次數(shù)進行調查,結果如下:
若將社會實踐次數(shù)不低于12次的學生稱為“社會實踐標兵”.
(1)將頻率視為概率,估計該校1600名學生中“社會實踐標兵”有多少人?
(2)從已抽取的8名“社會實踐標兵”中隨機抽取4位同學參加社會實踐表彰活動.
(。┰OA為事件"抽取的4位同學中既有男同學又有女同學”,求事件A發(fā)生的概率;
(ⅱ)用X表示抽取的“社會實踐標兵”中男生的人數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0).以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.
(Ⅰ)寫出曲線C的直角坐標方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A,B兩點,且AB的長度為2,求直線l的普通方程.
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